1、第三节 几何概型 第三节 几何概型 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1几何概型的定义 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是_、_、_等用这种方法处理随机试验，称为几何概型 线段平面图形立体图形2几何概型的概率公式 一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)_.这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段
2、、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积 d的测度D的测度思考感悟几何概型与古典概型的区别是什么？提示：几何概型中的基本事件是无限多个，而古典概型中的基本事件是有限个 课前热身 1(2010年高考湖南卷)在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_ 答案：232如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为_ 解析：根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率 PS椭圆S矩形，而 P300963000.68，S 矩形24，故 S 椭圆PS 矩形0.682416.32.答案：16.32
3、3(2011年南通调研)在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_ 解析：由几何概型的知识知 P 25000.004.答案：0.004 4.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_ 答案：16考点探究挑战高考 与长度有关的几何概型考点突破 如果一次试验中所有可能结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间、距离路程等，那么只需求出各自对应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求事件A发生的概率 例1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂
4、直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_【思路分析】满足条件的弦有无数条，所以不是古典概型，从几何概型角度考虑【解析】记事件 A“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形 BCD的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型的概率公式得 P(A)1222 12.【答案】12【名师点评】解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关因此，把问题转化成为：
5、直径上到圆心 O 的距离小于12的点构成的线段长与直径长之比与面积或体积有关的几何概型当事件A可以用面积(或体积)来衡量时，我们可以利用其与整体事件所对应的面积(或体积)的比值来计算事件A发生的概率，也就是用“面积比”(或“体积比”)来计算概率 例2 已知|x|2，|y|2，点P的坐标为(x，y)(1)求当x，yR时，P满足(x2)2(y2)24的概率；(2)求当x，yZ时，P满足(x2)2(y2)24的概率【思路分析】(1)为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解；(2)为古典概型只需分别求出|x|2，|y|2内的点以及(x2)2(y2)24的点的个数即可【解
6、】(1)如图，点 P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x2)2(y2)24的点的区域为以(2,2)为圆心，2 为半径的圆面(含边界)所求的概率 P1142244 16.(2)满足 x，yZ，且|x|2，|y|2 的点(x，y)有 25 个，满足 x，yZ，且(x2)2(y2)4的点(x，y)有 6 个，所求的概率 P2 625.【名师点评】(1)本例中第(1)小题与第(2)小题分别考查了几何概型与古典概型，故判断所求概率模型的类型是关键，而判断的主要依据是试验结果的有限性或无限性(2)对于几何概型问题，根据题意列出条件找出试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的
7、关键 变式训练1 用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球，假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒，求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概率 解：设“砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A，球心为O，砂粒位置为M，则事件A发生，即OM1cm.设R3，r1，则 P(A)d的测度D的测度43R343r343R31(rR)32627.故砂粒距离球心不小于 1 cm 的概率为2627.会面问题中的概率本类问题常涉及与面积有关的几何概型，难点在于怎样构造出面积，或者建立怎样的变量间的联系例3两人约定在2000到2100之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在2000至2100各时
8、刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率【思路分析】两人不论谁先到都要等迟到者 40 分钟，即23小时设两人分别于 x 时和y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当23xy23，因此转化成面积问题，利用几何概型求解【解】设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当23xy23.两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围
9、内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为P S阴影S单位正方形113212 89.【名师点评】会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题 变式训练 2 甲、乙两人约定上午 700 至800 之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有 3 班公共汽车，它们开车时刻分别为 720，740，800，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率解：设甲到达汽车站的时刻为 x，乙到达汽车站的时刻为 y，则 7x8,7y8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)
10、所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大(单位)正方形将三班车到站的时刻在图形中画出，则 甲、乙 两 人 要 想 乘 同 一 班 车，必 须 满 足 7x7137y713或713x723713y723或723x8723y8，即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，P132312 13.即甲、乙同乘一车的概率为13.方法感悟 方法技巧1几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关 2几何概型的“约会问题”是
11、程序化的方法与技巧，必须熟练掌握 失误防范几何概型必须同时具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的 考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，各地对几何概型考查较少，属中档题，主要考查基础知识 预测2012年江苏高考，各地将加大对几何概型的考查力度，应重点关注几何概型与线性规划相结合的题目 真题透析 例(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是_【解
12、析】如图，区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(含边界)，区域 E 表示单位圆及其内部，P1244 16.【答案】16【名师点评】对于几何概型问题，根据题意列出条件，找出试验的全部结果构成的长度、面积等及所求事件构成的长度、面积是解题的关键1平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是_ 名师预测 答案：13解析：如图，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为 P13.2如图，向面积为 S 的ABC 内任投一点 P，则PBC 的面积小于S2的概率为_解析：SPBC12SABC，hh2(其中 h为PBC 中 BC 边上的高，h 为ABC 中 BC 边上的高)，设 DE 为ABC 的中位线，则点 P 应在梯形 BCED 内(如图阴影部分)，PS梯形BCEDSABC 34.答案：343ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为_ 解析：对应长方形的面积为 212，而取到的点到 O 的距离小于等于 1 时，其是以 O 为圆心，半径为 1 所作的半圆，对应的面积为121212，那么满足条件的概率为：1122 14.答案：14本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
