1、第一讲直线与圆高考导航1求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离问题2结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；直线与圆、圆与圆的位置关系问题，其中含参数问题为命题热点考点一直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.1(2019湖北重点中学联考)已知直线l1：x2ay10，l2：(a1
2、)xay0，若l1l2，则实数a的值为()A B0C或0 D2解析若a0，则由l1l2得，求得a；若a0，则l1l2.所以实数a的值为或0.故选C答案C2(2019沈阳一模)过点(0,1)且与直线x2y10垂直的直线方程是()A2xy10 B2xy10Cx2y20 Dx2y10解析设与直线x2y10垂直的直线方程为2xym0，代入点(0,1)的坐标，得01m0，解得m1，所求的直线方程为2xy10.故选A答案A3(2019广东佛山一中期末)若直线l：ykx与直线xy30相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A(0，60) B(30，60)C(30，90) D(60，90)解析
3、易知k0，联立两直线方程得解得x，y，两直线的交点坐标为，两直线的交点在第一象限，得k，设直线l的倾斜角为，则tan，(30，90)故选C答案C4(2019长沙二模)直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为()A3x2y40Bx2或3x2y40Cx2或x2y0Dx2或3x2y80解析解法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，符合题意当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y1k(x2)，即kxy12k0，因为P(4,2)和Q(0，4)到直线l的距离相等，所以|4k212k|412k|，解得k，则直线l的方程为3x2y40，故选
4、B解法二：由题意知，所求直线经过P(4,2)和Q(0，4)的中点或与过P(4,2)和Q(0，4)的直线平行当所求直线经过P(4,2)和Q(0，4)的中点(2，1)时，所求直线方程为x2；当所求直线与过P(4,2)和Q(0，4)的直线平行时，由kPQ，得直线l的方程为y1(x2)，即3x2y40.答案B5(2019湖北黄冈中学月考)已知ABC的顶点A(1,2)，AB边上的中线CM所在直线的方程为x2y10，ABC的平分线BH所在直线的方程为yx，则直线BC的方程为()A2x3y10 B2x3y10C3x2y10 D3x2y10解析由题意可知，点B在直线yx上，可设点B的坐标是(m，m)，则AB的
5、中点在直线CM上，所以210，解得m1，故点B(1，1)设点A关于直线yx的对称点为A(x0，y0)，则由得则A(2,1)易知A在直线BC上，所以直线BC的方程为，即3(y1)2(x1)，即2x3y10，故选A答案A6(角度创新)已知点P(3,0)在动直线m(x1)n(y3)0上的射影为点M，若点N，那么|MN|的最小值为()A2 BC1 D解析动直线m(x1)n(y3)0过定点Q(1,3)，点P(3,0)在动直线m(x1)n(y3)0上的射影为点M，当点M与点Q不重合时，PMQ90，则M在以PQ为直径的圆上，此圆的圆心A的坐标为，半径r|PQ|，又N，|AN|3，则点N在圆外，|MN|的最小
6、值为3，故选D答案D直线方程及应用问题应注意的两点(1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在考点二圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆1(2019绍兴5月适应性考试)若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则实数a的取值范围是()A(，2) BC(2,0) D解析a2(2a)24(2a2a1)0，化简得3a24a40，解得2a0)，则2，解得m2或
7、m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0，故选C答案C4(2019兰州一模)已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)，则的最大值为()A3 B1C1 D2解析由题可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，其中k，将圆C的方程化为标准方程得(x2)2(y7)28，C(2,7)，半径r2，由直线MQ与圆C有交点，得2，解得2k2，的最大值为2，故选D答案D5(2019皖南八校联考)设直线ykx1与圆x2y22xmy0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：xy0对称，则|AB|_.解析因为点A，B关于直线l
8、：xy0对称，所以直线ykx1的斜率k1，则yx1，圆心在直线l：xy0上，所以m2，所以圆心为(1,1)，半径r，从而得圆心到直线yx1的距离d，所以|AB|22 .答案6(2019山西运城二模)已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x2y0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31，则圆C的方程为_解析设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知或故所求圆C的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.答案(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与
9、圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法考点三直线与圆、圆与圆的位置关系1判断直线与圆的位置关系的方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离2与圆的切线有关的结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一
10、点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr2.3相交两圆的公共弦所在直线方程相交两圆公共弦所在直线方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到【例】(1)(2019武汉模拟)已知两点A(a,0)，B(a,0)(a0)，若圆(x)2(y1)21上存在点P，使得APB90，则正实数a的取值范围为()A(0,3 B1,3C2,3 D1,2(2)(2019大连模拟)已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B分别是切点，若四边形PACB的面积的最小值是2，则k的值为()A1 B C D2(3)(2019
11、常州模拟)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点，若|MN|，则直线l的方程为_(3)解析(1)以AB为直径的圆的方程为x2y2a2，则由题意知圆(x)2(y1)21与圆x2y2a2有公共点，则|a1|a1，解得1a3，故选B(2)由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径r1，四边形PACB的面积S2SPBC，若四边形PACB的面积的最小值是2，则SPBC的最小值为1.而SPBCr|PB|PB|，则|PB|的最小值为2，此时|PC|取得最小值，而|PC|的最小值为圆心到直线的距离，所以，即k24，由k0，解得k2.(3)直线l的方程为ykx1，圆心C
12、(2,3)到直线l的距离d，由R2d22，得1，解得k2或，所求直线l的方程为y2x1或yx1.答案(1)B(2)D(3)y2x1或yx1探究追问1在本例(3)中若把条件“|MN|”，改为12，其中O为坐标原点，则|MN|_.解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意得直线l的方程为ykx1，代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70，所以x1x2，x1x2，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18，由题设可知812，解得k1，所以直线l的方程为yx1，故圆心C在直线l上，所以|MN|2.答案2探究追问2在本例(3)中若圆C的方程不变，且过点A(0,
13、1)且斜率为k的直线l上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是_解析由题意知直线l的方程为ykx1，要使直线l上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需直线l与圆C：(x2)2(y3)24有公共点，所以2，即2，解得k0.答案0，)直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l2(其
14、中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)1(2019广东厦门模拟)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析由题意可知反射光线所在直线过点(2，3)，设反射光线所在直线方程为y3k(x2)，即kxy2k30.反射光线所在直线与圆相切，1，解得k或k.答案D2(2019湖北四地七校联考)已知圆C1：x2y22x10y240和圆C2：x2y22x2y80，则两圆的公共弦长为_解析联立两圆的方程得两式相减整理得x2y40，即为两圆公共弦所在直线的方程解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点的坐标满足方程组解
15、得或所以|AB|2，即公共弦长为2.解法二：由x2y22x10y240，得圆心坐标为(1，5)，半径r5.圆心到直线x2y40的距离d3，设两圆的公共弦长为l，由r2d22，得l222，即两圆的公共弦长为2.答案21(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos，sin)到直线xmy20的距离当，m变化时，d的最大值为()A1 B2 C3 D4解析解法一：由点到直线的距离公式得d，cosmsin，令sin，cos，cosmsinsin()，d1，当m0时，dmax3，故选C解法二：cos2sin21，P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又xmy20表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，
16、如图，可得点(1,0)到直线x2的距离即为d的最大值故选C答案C2(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3解析由圆(x2)2y22可得圆心坐标为(2,0)，半径r，ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S|AB|d，易知|AB|2，dmax3，dmin，所以2S6，故选A答案A3(2019浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_.解析解法一：设直线2xy30为l，则ACl，又kl2，kAC，解得m2，C
17、(0，2)，r|AC|.解法二：由题知点C到直线的距离为，r|AC|.由直线与圆C相切得 ，解得m2，r.答案24(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.由已知得|AO|2，又，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2
18、)存在定点P(1,0)，使得|MA|MP|为定值理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.1.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查2直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问
19、题上热点课题5与圆有关的最值问题1(2019厦门模拟)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B1 C62 D解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.故选A答案A2(2019宁夏银川一中检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x3)2(y4)225交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是_解析验证得M(1,2)在圆
20、内，当ACB最小时，直线l与CM垂直，又圆心为(3,4)，则kCM1，则kl1，故直线l的方程为y2(x1)，整理得xy30.答案xy30专题强化训练(二十)一、选择题1(2019合肥检测)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A BC D解析由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是.故选B答案B2(2019沈阳质量监测)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则直线l的方程为()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30解析由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，yx3，即xy30，故选D答案D3(2019河北五
21、个一联盟联考)已知直线l1：mx2y10，l2：x(m1)y10，则“m2”是l1平行于l2的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析当m2时，直线l1：2x2y10，直线l2：xy10，此时直线l1与l2平行，所以充分性成立；当l1l2时，m(m1)20，即m2m20，m2或m1，经检验m1时，直线l1与直线l2重合，故l1l2时，m2，故必要性成立综上，“m2”是l1平行于l2的充分必要条件故选C答案C4(2019陕西西安高三质检)圆：x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是()A1 B2C1 D22解析将圆的方程化为(x1)2(y1)21，
22、即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为1d1，故选A答案A5(2019宁夏银川质检)已知圆C1：x2y24，圆C2：x2y26x8y160，则圆C1与圆C2的位置关系是()A相离 B外切 C相交 D内切解析易知圆C2的标准方程为(x3)2(y4)29，则圆C1与C2的圆心的距离为5，又两圆半径之和为235，所以圆C1与圆C2外切，故选B答案B6(2019辽宁第一次质量监测)已知直线l：yk(x)和圆C：x2(y1)21，若直线l与圆C相切，则k()A0 B C或0 D或0解析因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d1，即|1k
23、|，解得k0或k，故选D答案D7(2019武汉调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2x1与圆x2y24相交于A，B两点，则cosAOB()A B C D解析解法一：圆心(0,0)到直线y2x1的距离d，则弦长|AB|2 2，在ABO中，由余弦定理得，cosAOB.解法二：圆心(0,0)到直线y2x1的距离d，cos，所以cosAOB2cos2121.答案D8(2019福建龙岩质检)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线xby2b10相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()Ax2(y1)24 Bx2(y1)22Cx2(y1)28 Dx2(y1)216解析由题意可得圆心
24、(0,1)到直线xby2b10的距离d ，当且仅当b1时取等号，所以半径最大的圆的半径r，此时圆的标准方程为x2(y1)22.故选B答案B9(2019泰州模拟)已知直线2x(y3)m40(mR)恒过定点P，若点P平分圆x2y22x4y40的弦MN，则弦MN所在直线的方程是()Axy50 Bxy30Cxy10 Dxy10解析对于直线方程2x(y3)m40(mR)，取y3，则必有x2，所以该直线恒过定点P(2,3)设圆心是C，则易知C(1,2)，所以kCP1，由垂径定理知CPMN，所以kMN1.又弦MN过点P(2,3)，故弦MN所在直线的方程为y3(x2)即xy50.答案A10(2019福州质检)
25、过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()Ay ByCy Dy解析圆(x1)2y21的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y.故选B答案B11(2019河南名校第二次联考)已知m，n，a，bR，且满足3m4n6,3a4b1，则的最小值为()A B C1 D解析此题可理解为点A(m，n)和点B(a，b)分别在直线l1：3x4y6与l2：3x4y1上，求A、B两点距离的最小值，|AB|，因为l1l2，所以|AB|min1，故选C答案C12(2019
26、四川成都二模)已知直线l的方程是yk(x1)2，若点P(3,0)在直线l上的射影为H，O为坐标原点，则|OH|的最大值是()A5 B32C D3解析因为直线l的方程是yk(x1)2，所以直线l过定点M(1，2)则点P(3,0)在直线l上的射影H在以PM为直径的圆上|PM|2，线段PM的中点即圆心C(1，1)，则|OC|.因此，当O，C，H三点共线时，|OH|取得最大值.答案C二、填空题13(2019大同一模)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_解析由题意，得kOP2，则该圆在点P处的切线方程的斜率为，所以所求切线方程为y2(x1)，即x2y50.答案x2y50
27、14(2019昆明模拟)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则实数m的值为_解析因为圆C2：(x3)2(y4)225m，又因为圆C1与圆C2外切，所以15，解得m9.答案915(2019河北衡水中学模拟)已知直线axy10与圆C：(x1)2(ya)21相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为_解析因为ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，a)到直线axy10的距离drsin45，即d，所以a1.答案116(2019广西南宁测试)过动点M作圆：(x2)2(y2)21的切线MN，其中N为切点，若|MN|MO|(O为坐标原点)，则|MN|的最小值是_解析解法一：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为1.设M(x，y)，则|MO|，|MN|.由|MN|MO|，得4x4y70，即yx，所以|MN|MO| ，当x时，|MN|取得最小值.解法二：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为1.设M(x，y)，则|MO|，|MN|.由|MN|MO|，得4x4y70，即点M的轨迹为4x4y70，则由题意知，要使|MN|取得最小值，即|MO|取得最小值，此时|MO|的最小值就是原点到直线4x4y70的距离，即，故|MN|的最小值为.答案
