1、第10讲函数与导数调研一函数的性质备考工具1函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)函数单调性的常用结论：若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反；函数yf(x)(f(x)0)在公共
2、定义域内与y的单调性相同2函数的奇偶性与对称性(1)偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)f(x)f(x)结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数图象特征图象关于y轴对称图象关于原点对称(2)奇偶函数的性质：在公共定义域内：a两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数b两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数c一个奇函数和一个偶函数的积函数是奇函数若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(3)函数的对称性常用的结论：函数yf(x)
3、关于x对称f(ax)f(bx)f(x)f(bax)特殊：函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函数yf(x)关于x0对称f(x)f(x)(即为偶函数)函数yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊：函数yf(x)关于点(a,0)对称f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函数yf(x)关于(0,0)对称f(x)f(x)0(即为奇函数)yf(xa)是偶函数函数yf(x)关于直线xa对称；yf(xa)是奇函数函数yf(x)关于点(a,0)对称(4)常见奇函数：ykx，ykx3，ykx，y，yAsinx，yAtanx，yl
4、n，yln(1)，y，yaxax.(5)常见偶函数：yc，yk|x|，ykx2，yAcosx，yaxax.3函数周期性(1)周期函数的定义：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)常见的几个结论：周期函数yf(x)满足：若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a；若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a；若f(xa)，则函数的周期为2a；若函数f(x)关于直线xa与xb对称，则函数f(x)的周期为2|ba|；若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(
5、x)的周期为2|ba|；若函数f(x)关于直线xa对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为4|ba|；若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2a；若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4a.自测自评12019全国卷已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()AabcBacbCcabDbca解析：alog20.20，b20.21，c0.20.3(0,1)，acb.故选B.答案：B22019天津卷已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()AacbBabcCbcaDcab解析：alog520.5
6、1，故alog0.50.252，而c0.50.20.501，故cb.所以ac0)的图象，可由yf(x)的图象沿x轴方向向左(a)或向右(a)平移a个单位得到；yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象沿y轴方向向上(b)或向下(b)平移b个单位得到(2)对称变换：yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称；yf(x)与yf(x)的图象关于x轴对称；yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称(3)伸缩变换：ykf(x)(k0)的图象，可由yf(x)的图象上每一个点的纵坐标伸长(k1)或缩短(0k0)的图象，可由yf(x)的图象上每一个点的横坐标伸长(0k1)为原来的而得到(4)翻折变换：要得到
7、y|f(x)|的图象，可先画出yf(x)的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到；由于yf(|x|)是偶函数，要得到yf(|x|)的图象，可先画出yf(x)的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到2利用函数的性质确定函数图象的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)和图象上的特殊线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图象确定所给函数的图象3函数零点的等价关系4零点存在性定理自测自评12019惠州调研若函数f(x)ax2，g(x)loga|x|，其中a0，且a1，f(2)g(2)0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中
8、的大致图象是()解析：由题意知f(x)ax2是指数型函数，g(x)loga|x|是对数型函数，且是一个偶函数，由f(2)g(2)0，可得g(2)0，故loga20，故0a0时，f(x)2xln22x，当x0时，2x1,2x0，f(x)0，说明函数f(x)的图象在y轴右侧开始时是递增的，故排除选项A，B，D，选C.答案：C32019长沙、南昌高三第一次联考已知函数f(x)若函数g(x)f(x)mx2m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为()A(1,0)B(0,1)C(1,1)D(1,3)解析：函数g(x)f(x)mx2m的零点即方程f(x)m(x2)的根，m根据题意可知直线ym与函数y的图象有
9、三个不同的交点在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，如图，由图可知当0m0时，k|1，令g(x)1，x0，则g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g10，所以在上存在一个a，使得g(a)0，所以y|g(x)|的图象如图所示由题意知，直线yk与y|g(x)|的图象有两个交点，所以0k0)恰有两个零点x1，x2，且x10)的零点，即方程a(x1)sinx0(a0)的根，即直线ya(x1)(a0)和曲线ysinx交点的横坐标画出直线ya(x1)(a0)与曲线ysinx，如图所示，则当直线ya(x1)(a0)与曲线ysinx恰有两个公共点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)
10、，且x10)与曲线ysinx相切，又直线ya(x1)(a0)恒过点(1,0)，所以切点为A(x1，sinx1)对ysinx求导，得ycosx，于是cosx1a，所以cosx1，得x1tanx11.故选D.答案：D72019武昌调研已知函数f(x)x3a，则f(x)的零点可能有()A1个B1个或2个C1个或2个或3个D2个或3个解析：因为f(x)x3a，所以f(x)x2axa，令f(x)0，则a24a(a2)24.因为x2x2(x1)20，所以令f(x)0，则a，f(x)的零点转化为直线ya与函数g(x)的图象的交点g(x)，令g(x)0，即x4x32x20，整理得x2(x24x12)0，由于x
11、24x12(x2)280，所以x0，所以g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递减，所以直线ya与函数g(x)的图象可能有1个交点所以f(x)的零点可能有1个故选A.答案：A82019江苏卷设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数当x(0,2时，f(x)，g(x)其中k0.若在区间(0,9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_解析：当x(0,2时，令y，则(x1)2y21，y0，即f(x)的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆，利用f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0,9上的图
12、象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x(0,9)的图象，如图，关于x的方程f(x)g(x)在(0,9上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x(0,1)与f(x)(x(0,1)的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线yk(x2)经过点(1,1)时，k，当直线yk(x2)与半圆(x1)2y21(y0)相切时，1，k或k(舍去)，所以k的取值范围是.答案：调研三导数及其应用备考工具一、导数的运算法则1基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf
13、(x)axf(x)axlna(a0，且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)lnxf(x)2导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)3复合函数的导数复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，设yf(u)，ug(x)，则yf(u)g(x)，其中f(u)与g(x)有意义4导数的几何意义(1)函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义，就是曲线在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率用好这个条件是解决切线问题的关键，不知道切点时要先设切点(
14、2)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(3)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条二、导数与函数的单调性1函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内f(x)2由函数f(x)在区间a，b内单调递增(或递减)，可得f(x)0(或f(x)0)在该区间恒成立，而不是f(x)0(或0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(3)“极值点”不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1即为极大值点，极大
15、值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)2求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导函数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值，可列表完成3函数的最值在闭区间a，b上的连续函数yf(x)，在a，b上必有最大值与最小值在区间a，b上的连续函数yf(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点自测自评12019全国卷已知曲线yaexxlnx在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1B
16、ae，b1Cae1，b1Dae1，b1解析：因为yaexlnx1，所以y|x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1，所以解得答案：D22019合肥调研已知函数f(x)exex2cosx，其中e为自然对数的底数，则对任意aR，下列不等式一定成立的是()Af(a21)f(2a)Bf(a21)f(2a)Cf(a21)f(a1)Df(a21)f(a)解析：依题意可知，f(x)exex2cosxf(x)，所以f(x)是偶函数，f(x)exex2sinx，且f(0)0，令h(x)f(x)，则h(x)exex2cosx，当x0，)时，h(x)exex2c
17、osx0恒成立，所以f(x)exex2sinx在0，)上单调递增，所以f(x)0在x0，)上恒成立，所以f(x)在0，)上单调递增，又函数f(x)是偶函数，(a21)24a2(a21)20，所以f(a21)f(2a)，故选A.答案：A32019山西八校联考已知函数f(x)(kx2)exx(x0)，若f(x)0的解集为(s，t)，且(s，t)中恰有两个整数，则实数k的取值范围为()A.B.C.D.解析：令f(x)0，得kx20)，则g(x)(x0)，令g(x)0，解得0x1，令g(x)1，故g(x)在(1，)上单调递减，在(0,1)上单调递增当x时，g(x)0，作出g(x)及函数ykx2的大致图
18、象如图所示f(x)0的解集为(s，t)，且在(s，t)上恰有两个整数解，由图可知，这两个整数解为1和2，从而有解得k0.若x2，)，使不等式fex(x33x3)f(aexx)成立，则实数a的最小值为()A.1B2C12e2D1解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，满足f(x)f(x)0，所以不妨设f(x)exex，因为f(x)exex是定义在R上的单调递增函数，所以由fex(x33x3)f(aexx)得ex(x33x3)aexx，所以不等式ex(x33x3)aexx0在区间2，)上有解，所以ax33x3在区间2，)上有解，设g(x)x33x3，x2，)，则g(x)3x23(x1)
19、，当x2,1)时，g(x)0，所以函数g(x)在区间2,1)上是减函数，在区间(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)1，所以a1，故选D.答案：D52019开封定位考试已知函数f(x)lnx，k4，)，曲线yf(x)上总存在两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，使曲线yf(x)在M，N两点处的切线互相平行，则x1x2的取值范围为()A.B.C.D.解析：f(x)1(x0，k4)，由题意知，f(x1)f(x2)(x1，x20且x1x2)，即11，化简得4(x1x2)x1x2，而x1x22，所以4(x1x2)对k4，)恒成立，令g(k)k，则g(k)10对k4，)恒成立，故g(k)在4，)上单
20、调递增，所以g(x)g(4)5，所以，所以x1x2，故x1x2的取值范围为.答案：B62019安徽示范高中设函数f(x)在R上存在导数f(x)，对任意的xR，有f(x)f(x)0，且x0，)时，f(x)2x.若f(a2)f(a)44a，则实数a的取值范围为()A(，1B1，)C(，2D2，)解析：令G(x)f(x)x2，则G(x)f(x)2x，x0，)时，G(x)f(x)2x0，G(x)在0，)上是增函数G(x)f(x)(x)2f(x)x2G(x)，G(x)为偶函数，G(x)在(，0)上是减函数f(a2)f(a)44a，f(a2)44aa2f(a)a2，f(a2)(a2)2f(a)a2，即G(
21、a2)G(a)，|a2|a|，a1.答案：A72019广东六校联考已知函数f(x)x3ax2bx满足f(1x)f(1x)220，则f(x)的单调递减区间是_解析：函数f(x)x3ax2bx满足f(1x)f(1x)220，即(1x)3a(1x)2b(1x)(1x)3a(1x)2b(1x)220，整理得(2a6)x22a2b240，即，解得，所以f(x)x33x29x，f(x)3x26x9，令f(x)0，解得1x3，故函数f(x)的单调递减区间是(1,3)答案：(1,3)82019浙江卷已知aR，函数f(x)ax3x.若存在tR，使得|f(t2)f(t)|，则实数a的最大值是_解析：f(t2)f(t)a(t2)3(t2)(at3t)2a(3t26t4)2，因为存在tR，使得|f(t2)f(t)|，所以2a(3t26t4)2有解因为3t26t41，所以a有解，所以amax，所以a的最大值为.答案：
