1、第二节两直线的位置关系与距离公式A组基础题组1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是() A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0答案C因为直线x-2y-2=0的斜率为12,所以所求直线的斜率k=-2.所以所求直线的方程为y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为()A.-24B.24C.6D.6答案A直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),则2a-k=0,a+12=0即a=-12,k=-24.3.(2018
2、河北五校联考(二)已知直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C由l1l2得-m(m-1)=1(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1l2”的充要条件,故选C.4.若函数y=ax+8与y=-12x+b的图象关于直线y=x对称,则a+b=()A.12B.-12C.2D.-2答案C直线y=ax+8关于y=x对称的直线方程为x=ay+8,所以x=ay+8与y=-12x+b为同一直线,则a=-2,b=4.所以a
3、+b=2.5.直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为()A.2x+3y-12=0B.2x-3y-12=0C.2x-3y+12=0D.2x+3y+12=0答案D由ax+y+3a-1=0,可得a(x+3)+(y-1)=0,令x+3=0,y-1=0,可得x=-3,y=1,M(-3,1),且M不在直线2x+3y-6=0上.设直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+c=0(c-6),则|-6+3-6|4+9=|-6+3+c|4+9,解得c=12或c=-6(舍去),所求方程为2x+3y+12=0,故选D.6.经过两直线l1:x-2y+4=0
4、和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为.答案4x+3y-6=0解析由方程组x-2y+4=0,x+y-2=0得x=0,y=2,即P(0,2).因为ll3,所以直线l的斜率为k=-43,所以直线l的方程为y-2=-43x,即4x+3y-6=0.7.直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为.答案72010解析把3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,则两平行线间的距离d=|1-(-6)|62+22=72010.8.已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.(1)l1l2,且直线
5、l1过点(-3,-1);(2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解析(1)因为l1l2,所以a(a-1)-b=0.又因为直线l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.故a=2,b=2.(2)因为直线l2的斜率存在,l1l2,所以直线l1的斜率存在.所以ab=1-a,又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,所以l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即4b=b.联立可得a=2,b=-2或a=23,b=2.9.已知ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4).(1)求BC边的高所在直线l1的方程;(2)若直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.解析
6、(1)因为kBC=4-33+1=14,直线l1与BC垂直,所以直线l1的斜率k=-1kBC=-4,又A在直线l1上,所以直线l1的方程是y=-4(x-1)+1,即4x+y-5=0.(2)因为直线l2过C点且A,B到直线l2的距离相等,所以直线l2与AB平行或过AB的中点M,因为kAB=3-1-1-1=-1,所以直线l2的方程是y=-(x-3)+4,即x+y-7=0.因为AB的中点M的坐标为(0,2),所以kCM=4-23-0=23,所以直线l2的方程是y=23(x-3)+4,即2x-3y+6=0.综上,直线l2的方程是x+y-7=0或2x-3y+6=0.B组提升题组1.(2018山东实验中学模
7、拟)设a,b,c分别是ABC的内角A,B,C所对的边,则直线sin Ax+ay-c=0与bx-sin By+sin C=0的位置关系是() A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直答案C由题意可得直线sin Ax+ay-c=0的斜率k1=-sinAa,直线bx-sin By+sin C=0的斜率k2=bsinB,则k1k2=-sinAabsinB=-1,所以直线sin Ax+ay-c=0与直线bx-sin By+sin C=0垂直,故选C.2.已知三条直线l1:2x-3y+1=0,l2:4x+3y+5=0,l3:mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为()A.-43,23B.43,
8、-23C.-43,23,43D.-43,-23,23答案D因为三条直线不能构成三角形,所以有两条直线平行或者三条直线交于同一点.若l1l3,则m=23;若l2l3,则m=-43;若三条直线交于同一点,由l1:2x-3y+1=0,l2:4x+3y+5=0得交点-1,-13,将交点-1,-13代入l3:mx-y-1=0,解得m=-23.所以实数m的取值集合为-43,-23,233.已知ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.解析依题意知,kAC=-2,A(5,1),所以直线AC的方程为2x+y-1
9、1=0,联立直线AC,CM的方程得2x+y-11=0,2x-y-5=0,解得x=4,y=3.所以C(4,3).设B(x0,y0),则AB的中点为Mx0+52,y0+12,代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,所以2x0-y0-1=0,x0-2y0-5=0,解得x0=-1,y0=-3,所以B(-1,-3),所以kBC=-3-3-1-4=65,所以直线BC的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.4.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.解析(1)如图,设点B关于直线l的对称点为B,AB的延长线交直线l于点P0,在l上另任取一点P,则|PA|-|PB|=|PA|-|PB|AC|=|P1C|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即为所求.又直线AC的方程为19x+17y-93=0.联立19x+17y-93=0,3x-y-1=0,解得P1117,267.所以满足条件的P点坐标为117,267.
