1、第八节圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的弦长、中点弦问题A组基础题组1.设直线y=kx与椭圆x24+y23=1相交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于() A.32B.23C.12D.2答案A将直线与椭圆方程联立得y=kx,x24+y23=1,化简整理得(3+4k2)x2=12,(*)因为分别过A,B向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的两个焦点,故方程的两个根为1,代入方程(*),得k=32.故选A.2.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为()A.y=2x2B.y2=2xC
2、.x2=2yD.y2=-2x答案B设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px(p0),则y12=2px1,y22=2px2,两式相减可得2p=y1-y2x1-x2(y1+y2)=kAB2=2,可得p=1,抛物线C的方程为y2=2x.3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),结合题意,由点差法得,y2-y1x2-x1=-abx0y0=-ab23=-1,ab=32.4.已知直线l:y=3(x-1
3、)与抛物线C:y2=2px(p0)交于A,B两点,且|AB|=163,则p的值是()A.1B.2C.4D.8B设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y=3(x-1),y2=2px,整理得3x2-(6+2p)x+3=0,则x1+x2=6+2p3,x1x2=1,则|AB|=2|x1-x2|=26+2p32-4=163,p0,解得p=2.5.过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为3的直线,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为()A.67B.167C.716D.76答案B椭圆的标准方程为x24+y22=1,则可得a2=4,b2=2,c=4-2=2,F(-2,0).又直线AB的倾斜角为3,直线A
4、B的方程为y=3x+6.由y=3x+6,x2+2y2=4,得7x2+122x+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1227,x1x2=87,|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=167.故选B.6.过点P(-1,0)作直线与抛物线y2=8x相交于A,B两点,且2|PA|=|AB|,则点B到该抛物线焦点的距离为.答案5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).抛物线y2=8x的焦点为F(2,0).2|PA|=|AB|,3|PA|=|PB|,3(x1+1)=x2+1,3y1=y2,即3x1+2=x2,3y1=y2.又点A,B在抛物线y
5、2=8x上,38x1=8x2,即38x1=8(3x1+2),解得x1=13.x2=3,点B到该抛物线焦点的距离为|BF|=x2+2=5.7.如图,过抛物线y=14x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则ABDC=.答案-1解析不妨设直线AB的方程为y=1,联立得y=1,y=14x2,解得x=2,则A(-2,1),D(2,1),因为B(-1,1),C(1,1),所以AB=(1,0),DC=(-1,0),所以ABDC=-1.8.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线l,若l与椭圆x2+y24=1的交点为A,B,点P为椭圆上的动点,则使PAB的面积为12
6、的点P的个数为.答案2解析直线l的方程为2x+y-2=0,由2x+y-2=0,x2+y24=1直线l与椭圆的交点分别为椭圆的右顶点(1,0)和上顶点(0,2),则|AB|=5,由PAB的面积为12,得点P到直线AB的距离为55,而平面上到直线2x+y-2=0的距离为55的点都在直线2x+y-1=0和2x+y-3=0上,而直线2x+y-1=0与椭圆相交,2x+y-3=0与椭圆相离,满足题意的点P有2个.9.(2018贵州贵阳质检)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点1,32,离心率为12,左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当F2A
7、B的面积为1227时,求直线的方程.解析(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点1,32,所以1a2+94b2=1.又因为离心率为12,所以ca=12,所以b2a2=34.联立解得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当直线的倾斜角为2时,A,B点的坐标为-1,32,-1,-32,则SABF2=12|AB|F1F2|=1232=31227.当直线的倾斜角不为2时,设直线方程为y=k(x+1),代入x24+y23=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-1
8、24k2+3,所以SABF2=12|y1-y2|F1F2|=|k|(x1+x2)2-4x1x2=|k|-8k24k2+32-44k2-124k2+3=12|k|k2+14k2+3=1227,所以17k4+k2-18=0,解得k2=1k2=-1817舍去,所以k=1,所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.B组提升题组1.过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则1|AB|+1|CD|等于() A.2B.4C.12D.14答案D由抛物线y2=4x,可知2p=4,设弦AB所在直线l1的倾斜角为(为锐角),弦CD所在直线l2的倾斜角为2+,AB,CD为过焦点的弦,|AB|=
9、2psin2,|CD|=2psin22+=2pcos2,所以1|AB|+1|CD|=sin22p+cos22p=12p=14.故选D.2.已知抛物线y2=2px(p0)过点A12,2,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若MB=AB,则实数=()A.13B.12C.2D.3答案C把12,2代入抛物线的方程,得2=2p12,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0),设MyM24,yM,则AB=-32,-2,MB=-1-yM24,-yM.由MB=AB,得-1-yM24=-32,-yM=-2,解得=2或=1(舍去),故选C.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1
10、(ab0)的离心率为12,椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求OAOB的取值范围.解析(1)由题意知e=ca=12,所以e2=c2a2=a2-b2a2=14,所以a2=43b2.因为双曲线y22-x2=1的焦点坐标为(0,3),所以b=3,所以a2=4,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当直线l的倾斜角为0时,不妨令A(-2,0),B(2,0),则OAOB=-4,当直线l的倾斜角不为0时,设其方程为x=my+4,由x=my+4,3x2+4y2=12(3m2+4)y2+24my+
11、36=0,由0(24m)2-4(3m2+4)360m24,设A(my1+4,y1),B(my2+4,y2).因为y1+y2=-24m3m2+4,y1y2=363m2+4,所以OAOB=(my1+4)(my2+4)+y1y2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16+y1y2=1163m2+4-4,因为m24,所以OAOB-4,134.综上所述,OAOB的取值范围为-4,134.4.已知抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐
12、标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为线段MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2=2k,y1y2=-4代入式,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.
