1、内蒙古赤峰市2015届高三（上）第一次统考数学试卷（理科）一、选择题（共25题，每题2分，共50分）1设集合U=1，2，3，4，5，A=1，3，5，B=2，3，5，则U（AB）=（）A 4B3，5C1，2，4D2复数的虚部是（）AiBiCD3已知两条不同直线l1和l2及平面，则直线l1l2的一个充分条件是（）A l1且l2Bl1且l2Cl1且l2Dl1且l24有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（）A 1BC1D15给出性质：最小正周期为；图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质的是（）A y=sin（2x
2、+）B y=sin（2x+）C y=sin（2x）Dy=sin（x+）6已知命题p：x0，x+2，命题q：“x=2“x25x+6=0“的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A p（q）Bq（p）CpqDp（q）7（已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A B1CD38已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（xn，yn）若程序进行中输出的一个数对是（x，8），则相应的x值为（）A 80B81C79D789设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A 2，5B1，5C，5D，210ABC中，AB=，AC=1，B=
3、30，则ABC的面积等于（）A BCD11已知函数y=f（x）（xR）满足f（x）=f（x+1），且x1，1时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A 3B4C5D612过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F1（c，0）（c0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A BCD二填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的左焦点重合，则p的值为_14（5分）曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为_15（5分）二项式（2）6展开式中常数项是_16（5分
4、）若向量=（x1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知等差数列an的首项为a，公差为d，且方程ax23x+2=0的解为1，d（1）求an的通项公式及前n项和Sn公式；（2）求数列3n1an的前n项和Tn18（12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人（）求这2人都享受
5、折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（）设这2人中享受折扣优惠的人数为，求的分布列和数学期望19（12分）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点（I）求证：EF平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小20（12分）已知过点F1（1，0）且斜率为1的直线l1与直线l2：3x+3y+5=0交于点P（）求以F1、F2（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程（）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出
6、定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由21（12分）已知函数f（x）=lnxbx（a0）（I） 若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（x0）0四、选考题：满分30分，在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）（2013郑州二模）如图，已知O和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交O、BD于点E、F连接CE（1）求证：AGEF=CEGD；（2）求证：23（10分）（已知曲线
7、C的极坐标方程为=4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积24（10分）已知函数f（x）=|x2|，g（x）=|x+3|+m（1）解关于x的不等式f（x）+a10（aR）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：（1）方程ax23x+2=0的两根为1，d利用韦达定理得，解得a=1，d=2由此知an=1+2（n1）=2n1，（
8、6分）（2）令，则，（8分）两式相减，得（10分）=22（n1）3n（12分）18解析：（）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，因为事件A，B互斥，所以故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是（）据题意，的可能取值为0，1，2其中，所以的分布列是：012p所以19解：（I）证明：平面PAD平面ABCD，ABAD，AB平面PAD，（4分）E、F为PA、PB的中点，EFAB，EF平面PAD； （6分）（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，平面PAD平面ABCD，则PO平面ABCD取AO中点M，连OG，EO，EM，EFABOG，OG即为面EFG与面ABC
9、D的交线（8分）又EMOP，则EM平面ABCD且OGAO，故OGEOEOM 即为所求 （11分）在RTEOM中，EM=OM=1tanEOM=，故EOM=60平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60（14分）20解：（I）直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解得，x=，y=，则P（，），则|PF1|+|PF2|=+=2，则a=，c=1，b=1；则椭圆C的方程为（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有kQtkQs=k（k为定值），即 =k，将y2=1代入并整理得（k+）x2k（s+t）x+kst1
10、=0（*）由题意，（*）式对任意x（，）恒成立，所以k+=0，k（s+t）=0，kst1=0；解得k=，s=，t=；或k=，s=，t=；所以有且只有两定点（，0），（，0），使得kQtkQs为定值21解：（I）当b=2时，f（x）=lnx2x（x0），则因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f（x）0有解又因为x0时，则ax2+2x10有x0的解当a0时，y=ax2+2x1为开口向上的抛物线，ax2+2x10总有x0的解；当a0时，y=ax2+2x1为开口向下的抛物线，若ax2+2x10总有x0的解；则需=4+4a0，且方程ax2+2x1=0至少有一正根此时，1a0综上所述，a的取值范围为
11、（1，0）（0，+） （II） 设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0x1x2，则点AB的中点横坐标为f（x2）f（x1）=lnx2lnx1=0lnx2lnx1=f（x0）=设，则y=，t1令r（t）=，则因为t1时，r（t）0，所以r（t）在1，+）上单调递减故r（t）r（1）=0而0故f（x0）022证明：（1）连接AB，AC，AD为M的直径，ABD=90，AC为O的直径，CEF=AGD，DFG=CFE，ECF=GDF，G为弧BD中点，DAG=GDF，ECB=BAG，DAG=ECF，CEFAGD，AGEF=CEGD（2）由（1）知DAG=GDF，G=G，DFGAGD，DG2=
12、AGGF，由（1）知，23解：（1）对于C：由=4cos，得2=4cos，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积（10分）24解：（）不等式f（x）+a10即为|x2|+a10，当a=1时，解集为x2，即（，2）（2，+）；当a1时，解集为全体实数R；当a1时，解集为（，a+1）（3a，+）（）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x2|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x2|+|x+3|m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x2|+|x+3|（x2）（x+3）|=5，于是得m5，故m的取值范围是（，5）
