1、换元求解析式时忽略自变量范围的变化 已知()13fxx，求 f（x）的解析式.【错解】令1xt ，则 xt21，所以 f（t）3（t21）2t2，即有 f（x）2x2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“1x ”是有范围限制的利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件【试题解析】令1xt ，则 t0，且 xt21，所以 f（t）3（t21）2t2（t0），即 f（x）2x2（x0）【参考答案】f（x）2x2（x0）利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围 1已知 12fxxx，则 f x A211xx B21x C211xx D21
2、x 【解析】（换元法）：令1tx，则21,1xtt，所以 2212111f ttttt，所以 211f xxx故选 A【答案】A 注意：用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ，忽略了这一点，在求 f x 时就会出错.本题也可用配凑法，具体解析过程如下：21221 111fxxxxxx ，又1 1x ，所以 211f xxx故选 A 分段函数的参数范围问题 设函数31,1()2,1xxxf xx,则满足()()2aff f a 的 a 的取值范围是 A 2,13 B0,1 C 2,)3 D1，）【错解】当 a1 时，f（a）3a1，此时 f（f（a）3（3a1）19a4，3122afa，方程
3、无解 当 a1 时，21af a，此时 22222aaafff a，方程恒成立，故选 D【错因分析】对字母 a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对 3a1 与 1 的大小进行探讨，即参数 a 的分界点应该有 2 个，a23或 a1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论【试题解析】当23a 时，311f aa，3 31()1 94ff aaa ,3122afa，显然()2 f aff a.当23a1 时，31 1f aa，31,31222aafaff a，故 2afff a.当1a 时，21af a，22aff a，222aaf，故 2afff a.综合知 a23.【参
4、考答案】C 求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值 f（x0）时，首先要判断 x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集 2已知函数 f x=35,12,1axxa xx是,上的减函数,那么a 的取值范围是 A(0,3)B0,3 C(0,2)D0,2 【解析】f x 为R 上的减函数，1x 时，f x 单调递减，即30a ，则3a；1x 时，f x 单调递减，即0a,且231 51aa ,即2a.综上，a 的取值范围是02a,故选 D.【答案】D 对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误 若函数 f（x）x22ax4 的
5、单调递减区间是（，2，则实数 a 的取值范围是_.【错解】函数 f（x）的图象的对称轴为直线 xa，由于函数在区间（，2上单调递减，因此a2，即 a2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调【试题解析】因为函数 f（x）的单调递减区间为（，2，且函数 f（x）的图象的对称轴为直线 xa，所以有a2，即 a2.【参考答案】a2 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是 I，指的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义 3已知函数2()6f xxkx在2，8上是单调函
6、数，则 k 的取值范围是 A4,16 B4,16 C16,D,416,【解析】根据题意，函数2()6f xxkx的对称轴为 x2k，若 f（x）在2，8上是单调函数，必有2k 2 或2k 8，解可得：k4 或 k16，即 k 的取值范围是（，416，+）；故选 D【答案】D 忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）（x1）x1x1；（2）f（x）1x2|x2|2.【错解】（1）f（x）（x1）x1x1 x21.2()()()1ffxxx=，f（x）为偶函数（2）221()1|2|(2)2|2xxfxxx ，f（x）f（x）且 f（x）f（x），f（x）为非奇
7、非偶函数【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）有时还需要在定义域制约条件下将 f（x）进行变形，以利于判定其奇偶性【试题解析】（1）由x1x10 得x|x1，或 x1，f（x）定义域关于原点不对称，f（x）为非奇非偶函数（2）由 1x20|x2|20得1x1 且 x0，定义域关于原点对称，又1x1 且 x0 时，f（x）1x2x22 1x2x，221()1()xxfxf xxx ，f（x）为奇函数【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数 根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件 函数奇偶性判断
8、的方法（1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y 轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择填空题中 4下列函数是奇函数的是 Acosyxx B3 sinyxx C2ln1yxx Deexxy【解析】cos1 1cos(1)1,cos1 1cos(1)1 ，所以 A 为非奇非偶函数，33sin()sin(),xxxxxR，所以 B 为偶函数，2210,xxxxx R 22ln1ln()1()ln10 xxxx ，所以 C 为奇函数，()eeee,xxxx x R，所以 D 为偶函数，故选 C.【答案】C 判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、
9、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找 f x 与fx的关系，若 fxf x，则函数 f x 为偶函数；若 fxf x，则函数 f x 为奇函数.因忽略幂底数的范围而导致错误 化简（1a）（a1）2（a）12 12 _.【错解】（1a）（a1）2（a）12 12（1a）（a1）1（a）14（a）14.【错因分析】忽略了题中有（a）12，即相当于告知a0，故 a0，这样，（a1）212（a1）1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件【试题解析】由（a）12 知a0，故 a1c，ab，又 b70514（57）2（781
10、25）2 c70710（75）2（16807）2，bc，abc，故选 A【答案】A 忽略了对数式的底数和真数的取值范围 对数式 log（a2）（5a）b 中，实数 a 的取值范围是 A（，5）B（2,5）C（2，）D（2,3）（3,5）【错解】由题意，得 5a0，a0，a20，a21，2a3 或 3a0 恒成立，14a0，a14，即 a 的范围为（，14）【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解 ylog2（x2xa）值域为 R 的含义根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当 f（x）x2xa 的值能够取遍一切正实数时，ylog2（x2xa）的值域才为 R.而当 0 恒成立，仅仅说明函数
11、定义域为 R，而 f（x）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）要使 f（x）能取遍一切正实数，作为二次函数，f（x）图象应与 x 轴有交点（但此时定义域不再为 R）【试题解析】要使函数 ylog2（x2xa）的值域为 R，应使 f（x）x2xa 能取遍一切正数，要使 f（x）x2xa 能取遍一切正实数，应有 14a0，a14，所求 a 的取值范围为14，）【参考答案】14，）1求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求 yf（u），u（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性 2复合函数 yfg（x）及其里层函数 g（x）与外层函数 yf（）的单调性
12、之间的关系（见下表）.函数 单调性 yf（）增函数 增函数 减函数 减函数 g（x）增函数 减函数 增函数 减函数 yfg（x）增函数 减函数 减函数 增函数 7已知函数()log(6)af xax在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是 A（1，3 B（1，3）C（0，1）D3，+）【解析】由函数()log(6)af xax在（0，2）上为减函数，可得函数6tax在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a，故有1620aa，解得13a.故选 A【答案】A 不论1a 还是01a，都有6tax为减函数，又()log(6)af xax在（0，2）上为减函数，则1a，这是求解本题的关键.零点存在性
13、定理使用条件不清致误 函数1()f xxx的零点个数为 A0 B1 C2 D3【错解】因为(1)20f ，(1)20f，所以函数()f x 有一个零点，故选 B【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()f xxx的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【试题解析】函数()f x 的定义域为|0 x x，当0 x 时，()0f x；当0 x 时，()0f x.所以函数()f x 没有零点，故选 A【参考答案】A 零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理
14、.8已知函数2,(),x xaf xx xa，若函数()f x 存在零点，则实数 a 的取值范围是 A,0 B,1 C1,D0,【解析】函数2,(),x xaf xx xa 的图象如图：若函数()f x 存在零点，则实数 a 的取值范围是（0，+）故选 D【答案】D 一、函数（1）映射：设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应:fAB为从集合 A 到集合 B 的一个映射.（2）函数：非空数集 A 非空数集 B 的映射，其要素为定义域 A、对应关系 f，函数的值域()C CB.
15、求函数定义域的主要依据：分式的分母不为 0；偶次方根的被开方数不小于 0；对数函数的真数大于 0；指数函数和对数函数的底数大于 0 且不等于 1；正切函数tanyx中，x 的取值范围是 xR，且+,2xkkZ.求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义（3）复合函数问题：若 f（x）的定义域为a，b，f（g（x）的定义域应由 ag（x）b 解出；若 f（g（x）的定义域为a，b，则 f（x）的定义域为 g（x）在a，b上的值域 注意 f（x）中的 x 与 f（g（x）
16、中的 g（x）地位相同；定义域所指永远是 x 的范围 二、函数的性质（1）函数的奇偶性 如果对于函数 yf（x）定义域内的任意一个 x，都有()()fxf x（或()()fxf x），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）（2）函数的单调性 函数的单调性是函数的又一个重要性质给定区间 D 上的函数 f（x），若对于任意12x xD,，当12xx时，都有12()f xf x)(），则称 f（x）在区间 D 上为单调增（或减）函数 反映在图象上，若函数 f（x）是区间 D 上的增（减）函数，则图象在 D 上的部分从左到右是上升（下降）的如果函数 f（x）在给定区间（a，b）上恒有 f（x）0（f
17、（x）0），则 f（x）在区间（a，b）上是增（减）函数，（a，b）为 f（x）的单调增（减）区间（3）函数的周期性 设函数 yf（x），xD，如果存在非零常数 T，使得对任意 xD，都有 f（xT）f（x），则函数 f（x）为周期函数，T 为 yf（x）的一个周期（4）最值 一般地，设函数 yf（x）的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有 f（x）M（或 f（x）M）；存在0 xI，使得0f xM，那么称 M 是函数 yf（x）的最大值（或最小值）三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：会画各种简单
18、函数的图象；能依据函数的图象判断相应函数的性质；能用数形结合的思想以图辅助解题（2）利用函数图象的变换作图 平移变换 0,0,()()hhhhyf xyf xh右移 个单位长度左移 个单位长度，0,0,()()kkkkyf xyf xk上移个单位长度下移个单位长度.伸缩变换 101,11,()()yf xyfx 横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍，01,1,()()AAAAyf xyAf x 纵坐标缩短到原来的 倍纵坐标伸长到原来的 倍.对称变换()()xyf xyf x 关于 轴对称，()()yyf xyfx关于 轴对称，=()(2)x ayf xyfax关于直线对称，()()yf x
19、yfx 关于原点对称.四、函数与方程、函数的应用 1函数的零点（1）函数的零点：对于函数 f（x），我们把使 f（x）0 的实数 x 叫做函数 f（x）的零点（2）函数的零点与方程根的联系：函数 F（x）f（x）g（x）的零点就是方程 f（x）g（x）的根，即函数 yf（x）的图象与函数 yg（x）的图象交点的横坐标（3）零点存在性定理：如果函数 yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f（a）f（b）0，那么，函数 yf（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c（a，b）使得 f（c）0,这个 c也就是方程 f（x）0 的根 2二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解
20、 应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间,a b 的长度尽量小；（2）()f a，()f b 的值比较容易计算，且()()0f af b.3应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答 与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答 1已知0.20.32log 0.220.2abc，则 Aabc Bacb Ccab Dbca【答案】B【解析】22log 0.2
21、log 10,a 0.20221,b 0.3000.20.21,c即01,c 则acb 故选 B【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小 2设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)=e1x ，则当 x0，且 a1)的图象可能是 【答案】D【解析】当01a 时，函数xya的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1xya的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log2ayx的图象过定点 1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a 时，函数xya的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xya的图象过定点(0,1)
22、且单调递减，函数1log2ayx的图象过定点 1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选 D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论 a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8已知单调函数 f x，对任意的 xR 都有 26ff xx，则 2f A2 B4 C6 D8【答案】C【解析】设 2tf xx，则 6f t，且 2f xxt，令 xt，则 236f tttt，解得2t，22f xx，22 226f 故选 C【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力 9设 f x 是定
23、义域为 R 的偶函数，且在0,+单调递减，则 A f（log3 14）f（322）f（232）B f（log3 14）f（232）f（322）C f（322）f（232）f（log3 14）D f（232）f（322）f（log3 14）【答案】C【解析】f x 是定义域为R 的偶函数，331(log)(log 4)4ff 223303322333log 4log 31,1222,log 422，又 f x 在(0，+)上单调递减，23323(log 4)22fff，即23323122log 4fff.故选 C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用
24、中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案 10函数 exxf x，关于 x 的方程 2110fxmf xm 有 4 个不相等实根，则实数m 的取值范围是 A22ee(,1)ee B22ee+1(,)ee C22ee 1(,1)ee D22ee(,)ee【答案】C【解析】根据题意画出函数()f x 的图象，如图.令 tf x，原问题等价于关于t 的方程2110tmtm 有两个根 12,t t，每个t 值对应两个 x值，故有两种情况：1201(0,)ett；121e1(0,)ett.当属于情况时，将0t 代入2110tmtm 得到1m ，此时方程2110tmtm 的根是确定的，一个为 0，一
25、个为 2，不符合题意；当属于情况时，22211 10ee 1,1.eeee10mmmm 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 11已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x 若函数()yf xaxb恰有 3
26、个零点，则 Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 【答案】C【解析】当 x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得 x=1，则 yf（x）axb 最多有一个零点；当 x0 时，yf（x）axb=13x312（a+1）x2+axaxb=13x312（a+1）x2b，2(1)yxax，当 a+10，即 a1 时，y0，yf（x）axb 在0，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）ax
27、b 恰有 3 个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图：10 且013(+1)3 12(+1)(+1)2 0，解得 b0，1a0，b 16（a+1）3，则 a1，b0.若在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是_【答案】12,34【解析】作出函数()f x，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f xx的图象与1()(12,34,56,78)2g xxxxx 的图象仅有 2 个交点，即在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x有 2 个不同的实数根，要使关于 x
28、的方程()()f xg x有 8 个不同的实数根，则2()1(1),(0,2f xxx与()(2),(0,1g xk xx的图象有 2 个不同的交点，由(1,0)到直线20kxyk的距离为 1，可得2|3|11kk，解得2(0)4kk，两点(2,0),(1,1)连线的斜率13k，1234k，综上可知，满足()()f xg x在(0,9上有 8 个不同的实数根的 k 的取值范围为 1234，.【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.20设函数
29、32()31f xxx=+已知0a，且2()()()()f xf ax b x a-=-，x R，则实数 a=_，b=_【答案】2-，1【解析】32323232()()313133f xf axxaaxxaa ，23222()()(2)(2)xb xaxab xaab xa b，所以223223203abaaba baa，解得21ab 【思路点睛】先计算()()f xf a-，再将2()()xb xa-展开，进而对照系数可得含有a，b 的方程组，解方程组可得a 和b 的值 21定义在实数集R 上的函数 f x 满足 44f xfxf x，当0,2x时，31xf xx，则函数 2log1g xf
30、 xx的零点个数为_【答案】512【解析】定义在R 上的函数 f x，满足44fxf x，f x 为R 上的偶函数，因为 f x 满足 4f xf x，函数 f x 为周期为4 的周期函数，且为R 上的偶函数，因为0,2x时，31xf xx，所以，在0,2 上 f x 递增，且值域为0,10，根据周期性及奇偶性画出函数 yf x的图象和2log1yx的图象，如图，易知2log1yx的图象在2,上单调递增，且当1025x 时，2log 102510，当1025x 时，2log1yx的图象与函数 yf x的图象无交点，结合图象可知有512个交点，故答案为512.【名师点睛】函数零点个数(方程根)的
31、三种判断方法：(1)直接求零点：令 0f x，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间,a b 上是连续不断的曲线，且 0f a f b，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.22在直角坐标系 xOy 中，如果相异两点,A a b，,Bab都在函数 yf x的图象上，那么称 A，B 为 函 数 f x的 一 对 关 于 原 点 成 中 心 对 称 的 点（A，B 与 B，A 为 同 一 对）函 数 6s
32、in,02log,0 x xf xx x 的图象上有_对关于原点成中心对称的点【答案】3【解析】yf x关于原点的对称图象的解析式为yfx，因此 f x 关于原点对称的点的个数实际上就是 f xfx 在0,上解的个数 又当0 x 时，sin 2fxx，考虑sin 2yx与6logyx在0,上的图象的交点的个数如下图所示，它们有 3 个公共点，从而函数 6sin,02log,0 x xf xx x 的图象上有 3 对关于原点成中心对称的点 23已知 aR，函数3()f xaxx，若存在t R，使得2|(2)()|3f tf t，则实数 a 的最大值是_【答案】43【解析】存在t R，使得2|(2)()|3f tf t，即有332|(2)(2)|3a ttatt，化为22|23642|3att，可得2222364233att，即22436433att，由223643(1)1 1ttt ，可得403a.则实数a 的最大值是 43.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a ttatt23，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.
