1、2020年二模二次函数综合题1如图1，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交于点，过点作于点，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，当 的周长最大时，将点沿射线的方向平移个单位至点，再将线段沿射线方向平移，点、的对应点分别记为点、在平移过程中，点、是否能构成以为腰的等腰三角形，若能，直接写出点的横坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）；（2）周长最大值为：，此时；（3）能构成等腰三角形，点的横坐标为：或或【分析】（1）利用待定系数法将、三点代入到中，即可求得a、b、c的值；（2），过
2、点P作轴交BC于点H，利用平行线的性质可得，利用其正切值相等即可得到，利用直角三角形的性质即可得到，则可得，在中，利用的正切值，即可求得与的关系，则，设，利用直线的解析式将点H的坐标表示为，即可求得，即当时，取得最大值，最大值为，进而即可求得点P的坐标；（3）利用待定系数法求出的解析式，再由，求出的解析式，据此可以求出的坐标，过点作直线，即可得直线的解析式，设，则，由（2）可知，则可表示出和的长，进而根据和两种情况求得的值，进而即可求得的横坐标【详解】（1）点、在抛物线的图像上，将点A、B、C的坐标代入得：，解得，；（2）如图3，过点P作轴交BC于点H，图3轴，又，当取最大值时，取最大值，设，
3、设直线的解析式为：，将点B、C的坐标代入得：，解得，当时，取得最大值，最大值为，的最大值，将代入到中，得，；（3）设直线的解析式为：，点、，解得，直线的解析式为：，设，（舍去），过点作直线，直线：，设，则，由（2）可知，,当时，整理得：，解得：，点的横坐标为：；当时，整理得：，解得：，的横坐标为或，综上，的横坐标为：或或【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和一元二次函数的解析式、平行线的性质、三角函数、三角形周长、一元二次函数的性质、平移的规律、求坐标系中两个点的距离等知识，解答本题的关键是正确的做出辅助线，利用平移规律，并灵活运用以上知识2如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作x轴
4、交抛物线于点，连接（1）求这个抛物线的解析式（2）设为抛物线上的一点，且在直线的下方，连接，当的面积最大时，线段在轴上左右移动得到线段，求的最小值【答案】（1）；（2）【分析】（1）把，代入，解二元一次方程组即可求解；（2）把代入求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，设点的坐标为：，过点作交于点，得到点的坐标为：，利用表示为关于n的二次函数，故可求出的面积最大时P点坐标，过点作轴，且使，连接交轴于点，过点作交轴于点，可得此时的值最小求出，进而得到的最小值 【详解】解：（1）把，代入中得，解得这个抛物线的解析式为：（2）把代入，得解得：，点的坐标为设直线的解析式为，解得直线的解析式为：设点的坐
5、标为：过点作交于点则点的坐标为：又当时，的面积最大此时点的坐标为：如图，过点作轴，且使，连接交轴于点过点作交轴于点四边形PPBA是平行四边形，此时的值最小令y=3，得x=0或x=4，D（4,3），又，的最小值为：【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、三角形的面积公式、对称性及二次函数的图像性质3如图1，抛物线yax2+2ax+c（a0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OAOC（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线顶点，求ACD的面积；（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，
6、SABE，求APE面积的最大值和此动点P的坐标【答案】（1）yx2+2x3；（2）3；（3）P的坐标为（，）【分析】（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法即可得出答案；（2）根据（1）中求出的函数解析式得出点A、C和D的坐标，再利用割补法即可得出答案；（3）设点E的纵坐标为t，根据ABE的面积求出t的值，再代入函数解析式即可得出点E的坐标，将A和E的坐标代入即可得出直线AE的解析式，接着根据SAPESAPG+SPEG求出面积的函数关系式，再化为顶点式即可得出答案【详解】解：（1）抛物线yax2+2ax+c（a0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OAOC，a+2a+c0，点
7、C的坐标为（0，c），点A的坐标为（c，0），ac2+2ac+c0，解得，或，函数图象开口向上，a0，a1，c3，抛物线的解析式为yx2+2x3；（2）yx2+2x3（x+1）24，抛物线与与y轴交于点C，顶点为D，OAOC，抛物线yax2+2ax+c（a0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，点D的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（3，0），连接OD，如右图1所示，由图可知：SACDSOAD+SOCDSOAC3；（3）A（3，0），点B（1，0），AB4，设点E的纵坐标为t，t0，SABE，得t，把y代入yx2+2x3，得x2+2x3，解得，x1，x2，点E在y轴的右侧，点E（，），设直线AE的解析式为ymx+n（m0），得，直线AE的解析式为yx1，过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x3），点G（x，x1），PG（x1）（x2+2x3）x2x+2，又A（3，0），E（，），SAPESAPG+SPEG ，当x时，SAPE取得最大值，最大值是，把x代入yx2+2x3，得y（）2+2（）3，此时点P的坐标为（，）【点睛】本题考查的是二次函数的综合，难度较大，正确解出函数的解析式是解决本题的基础，熟练掌握割补法求面积是解决本题的关键
