1、考前回扣3环节1.集合与常用逻辑用语必记知识1.集合的性质(1)ABA,ABB;AAB,BAB;AA=A,A=A,AB=BA;AA=A,A=,AB=BA.(2)若AB,则AB=A;反之,若AB=A,则AB.若AB,则AB=B;反之,若AB=B,则AB.(3)AUA=,AUA=U,U(UA)=A.2.四种命题的相互关系3.全称命题与特称命题全称命题p:xM,p(x)的否定为特称命题p:x0M,p(x0);特称命题p:x0M,p(x0)的否定为全称命题p:xM,p(x).必会结论1.集合之间关系的判断方法(1)ABAB
2、且AB,类比于abab且ab.(2)ABAB或A=B,类比于aba0).loga(MN)=logaM+logaN;logaMN=logaM-logaN;logaMn=nlogaM;alogaN=N;logaN=logbNlogba(a0且a1,b0且b1,M0,N0).3.指数函数与对数函数的对比区分表解析式y=ax(a0且a1)y=logax(a0且a1)图象定义域R(0,+)值域(0,+)R单调性0a1时,在R上是增函数0a1时,在(0,+)上是增函数4.方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义,可知函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y
3、=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,所以,方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.(2)函数零点的存在性如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)0且a1);(ex)=ex;(logax)=1xlna(a0且a1);(ln x)=1x.(2)导数的四则运算(uv)=uv;(uv)=uv+uv;uv=uv-uvv2(v0).6.导数与极值、最值(1)函数f(x)在x=x0处的导数f (x0)=0且f (x)在x=x0附近“左正右负”f(x)在x=x0处取得极大值;函数f(x)在x=x0处的导数f (x0)=0且f
4、 (x)在x=x0附近“左负右正”f(x)在x=x0处取得极小值.(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”;函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”.必会结论1.函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x),g(x)同为增(减)函数时, f(x)+g(x)为增(减)函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.(3) f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称; f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称.(4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数,奇函数
5、的和、差是奇函数,积、商(分母不为零)是偶函数,奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数.(5)定义在(-,+)上的奇函数的图象必过原点,即有f(0)=0.存在既是奇函数,又是偶函数的函数f(x)=0.(6) f(x)+ f(-x)=0f(x)为奇函数;f(x)-f(-x)=0f(x)为偶函数.2.函数的周期性的重要结论周期函数y=f(x)满足:(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|.(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|.(3)若f(x+a)=-1f(x),则函数的周期为2|a|.3.函数图象对称变换的相关结论(1)y= f(x)的图象关于y轴对称的
6、图象是函数y= f(-x)的图象.(2)y=f(x)的图象关于x轴对称的图象是函数y=-f(x)的图象.(3)y=f(x)的图象关于原点对称的图象是函数y=-f(-x)的图象.(4)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f -1(x)的图象.(5)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象.(6)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.4.函数图象平移变换的相关结论(1)把y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c0时向左平移,c0时向上平移,b1)或缩短(0a0)的图象.(2)把y=f(x)的图象上
7、各点的横坐标伸长(0b1)到原来的1b,而纵坐标不变,得到函数y=f(bx)(b0)的图象.6.可导函数与极值点之间的三种关系(1)定义域D上的可导函数f(x)在x=x0处取得极值的充要条件是f (x0)=0,并且f (x)在x=x0两侧异号,若“左负右正”,则x=x0为极小值点,若“左正右负”,则x=x0为极大值点.(2)函数f(x)在x=x0处取得极值时,它在这点的导数不一定存在,例如函数y=|x|,结合图象知它在x=0处有极小值,但它在x=0处的导数不存在.(3)f (x0)=0是函数f(x)在x=x0处取得极值的既不充分也不必要条件,要注意对极值点进行检验.7.抽象函数的性质与特殊函数
8、模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型f(x)f(y)=f(x+y)(x,yR),f(x)f(y)=f(x-y)(x,yR, f(y)0)指数函数f(x)=ax(a0,a1)f(xy)=f(x)+f(y)(x0,y0),fxy=f(x)-f(y)(x0,y0)对数函数f(x)=logax(a0,a1)f(xy)=f(x)f(y)(x,yR),fxy=f(x)f(y)(x,yR,y0, f(y)0)幂函数f(x)=xnf(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)三角函数f(x)=sin x,g(x)=cos x必纠易错1.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接,可用“和
9、”连接或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.2.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响.3.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子来表示对应关系的函数,它是一个函数,而不是几个函数.4.不能准确理解导函数的几何意义,易忽视切点(x0, f(x0)既在切线上,又在函数图象上,而导致某些求导数的问题不能正确解出.5.易混淆函数的极值与最值的概念,错以为f (x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处有极值的充要条件.3.不等式必记知识1.不等式的性质(1)ab,bcac.(2)ab,c0acbc;a
10、b,c0acba+cb+c.(4)ab,cda+cb+d.(5)ab0,cd0acbd.(6)ab0,nN,n1anbn,nanb.2.简单分式不等式的解法(1)f(x)g(x)0 f(x)g(x)0,f(x)g(x)0 f(x)g(x)a(a)的分式不等式要采取:移项通分化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解.3.利用基本不等式求最值(1)对于正数x,y,若积xy是定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2p.(2)对于正数x,y,若和x+y是定值s,则当x=y时,积xy有最大值14s2.必会结论1.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2+bx+c0(a0)恒成立的条件是a0,0.(2)a
11、x2+bx+c0(a0)恒成立的条件是a0,0,b0),当且仅当a=b时,等号成立.(2)整式形式:aba+b22(a,bR),a2+b22ab(a,bR),(a+b)24ab(a,bR),a+b22a2+b22(a,bR),以上不等式当且仅当a=b时,等号成立.(3)分式形式:ba+ab2(ab0),当且仅当a=b时,等号成立.(4)倒数形式:a+1a2(a0),当且仅当a=1时,等号成立;a+1a-2(a0)上方(或下方)Ax0+By0+C0(或0(或0).必纠易错1.不等式两端同时乘一个数或同时除以一个数,不讨论这个数的正负,从而出错.2.容易忽视使用基本不等式求最值的条件,即“一正、二
12、定、三相等”导致错解,如求函数f(x)=x2+2+1x2+2的最值,就不能利用基本不等式求解;求解函数y=x+3x(x0,0).(2)y=sin xy=sin xy=sin(x+)y=Asin(x+)(A0,0).5.三角恒等变换的主要公式sin()=sin cos cos sin ;cos()=cos cos sin sin ;tan()=tantan1tantan;sin 2=2sin cos ;cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;tan 2=2tan1-tan2.6.正弦定理与余弦定理的变形(1)正弦定理的变形a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rs
13、in C.sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R.abc=sin Asin Bsin C.注:R是三角形外接圆的半径.(2)余弦定理的变形cos A=b2+c2-a22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab.b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C.必会结论1.三角恒等变换的常用技巧(1)常值代换:“1”的代换,如1=sin2+cos2,1=2sin6=2cos3=2sin4,1=tan4.特殊三角函数值的代换.(2)角的变换:涉及角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系
14、时,常见的拆角、凑角技巧有2=(+)+(-),=(+)-=(-)+,=+2-2=(+2)-(+),4+=2-4-等.2.三角形中的常见结论(1)有关角的结论A+B+C=,A+C=2BB=3;A=-(B+C)A2=2-B+C2,sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C),sinA2=cosB+C2,cos A2=sinB+C2.(2)有关边的结论在等腰三角形(腰为a,底边为c)中,若顶角为3,则ac=11;若顶角为2,则ac=12;若顶角为23,则ac=13.(3)有关边角关系的结论b2+c2-a2=bcA=3;b2+c2-a2=3bcA=6;b2+c2+bc=a2A=23;b
15、2+c2+2bc=a2A=34.必纠易错1.在求三角函数的值域(或最值)时,不要忽略x的取值范围.2.求y=Asin(x+)的单调区间时,要注意,A的符号,Bsin Asin B.5.平面向量必记知识1.平面向量共线的坐标表示的两种形式(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2=x2y1,此形式对任意向量a,b(b0)都适用.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x2y20,则abx1x2=y1y2.需要注意的是可以利用x1x2=y1y2来判定ab,但是反过来不一定成立.2.平面向量的数量积已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为向量a,b的夹角.
16、结论几何表示坐标表示模|a|=aa|a|=x12+y12数量积ab=|a|b|cos ab=x1x2+y1y2夹角cos =ab|a|b|cos =x1x2+y1y2x12+y12x22+y22ab的充要条件ab=0x1x2+y1y2=0|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2+y1y2|x12+y12x22+y223.两向量的夹角与数量积设两个非零向量a与b的夹角为,则当=0时,cos =1,ab=|a|b|;当为锐角时,cos 0,ab0;当为直角时,cos =0,ab=0;当为钝角时,cos 0,ab0).(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+
17、F=0(D2+E2-4F0).(3)圆的参数方程:x=a+rcos,y=b+rsin(为参数).(4)圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(A(x1,y1),B(x2,y2)是圆的直径的两端点).3.直线与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)有相交、相离、相切三种情况.可从代数和几何两个方面来判断:(1)代数法(即判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况):0相交;0相离;=0相切.(2)几何法(即比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d,则dr相离;d=r相切.4.椭圆的标准方程及几何性质
18、标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形续表标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)几何性质范围-axa,-byb-bxb,-aya对称性对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a);B1(-b,0),B2(b,0)轴线段A1A2,B1B2分别是椭圆的长轴和短轴;长轴长为2a,短轴长为2b焦距|F1F2|=2c离心率焦距与长轴长的比值:e(0,1)a,b,c的关系c2=
19、a2-b25.双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形几何性质范围|x|a,yR|y|a,xR对称性对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴长为2b焦距|F1F2|=2c离心率焦距与实轴长的比值:e(1,+)渐近线y=baxy=abxa,b,c的关系a2=c2-b26.抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-
20、2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形续表标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0,0)焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR离心率e=1必会结论1.常见的直线系方程(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可为x=x0).(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+=0(C)
21、.(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+=0.(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).2.与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0
22、y=r2.(4)若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则过圆外一点P(x0,y0)的切线长d=(x0-a)2+(y0-b)2-r2.3.通径(1)椭圆通径长为2b2a;(2)双曲线通径长为2b2a;(3)抛物线通径长为2p.4.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,则渐近线的方程为x2a2-y2b2=0,即y=bax.(2)若渐近线的方程为y=bax,即xayb=0,则双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=.(3)若所求双曲线与双曲线x2a2-y2b2=1有公共渐近线,其方程可设为x2a2-y2b2=(0,焦点在x轴上;0)焦点F的弦,若A(x1,
23、y1),B(x2,y2),为直线AB的倾斜角,且y10y2,则(1)焦半径|AF|=x1+p2=p1-cos,|BF|=x2+p2=p1+cos.(2)x1x2=p24,y1y2=-p2.(3)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2.(4)1|FA|+1|FB|=2p.(5)以弦AB为直径的圆必与准线相切.(6)SOAB=p22sin(O为抛物线的顶点).必纠易错1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系,导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件,如根据直线在两轴上的截距相等设方程时,忽视截距为0的情况,直接设为xa+ya=1;再如
24、,过定点P(x0,y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况,直接设为y-y0=k(x-x0)等.3.讨论两条直线的位置关系时,易忽视系数等于零时的情况而导致漏解,如两条直线垂直时,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.4.圆的标准方程中易误把r2当成r;圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件.5.易误认为两圆相切为两圆外切,忽视两圆内切的情况导致漏解.6.利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,2a”的区别.11.极坐标系与参数方程必记知识1.极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任一点,它的直角坐标是(x,y)
25、,极坐标是(,),则它们之间的关系为x=cos,y=sin,2=x2+y2,tan=yx.2.圆的极坐标方程若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为2-20cos(-0)+02-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:(1)当圆心位于极点,半径为r:=r;(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:=2acos ;(3)当圆心位于Ma,2,半径为a:=2asin .3.直线的极坐标方程若直线过点M(0,0),且与极轴所成的角为,则它的方程为sin(-)=0sin(0-).几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)直线过极点:=0和=-0;(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:cos =a;(3)
26、道线过Mb,2且平行于极轴:sin =b.4.常见曲线的参数方程(1)直线经过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程是x=x0+tcos,y=y0+tsin,其中t是参数.(2)圆以O(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是x=a+rcos,y=b+rsin,其中是参数.当圆心为(0,0)时,方程为x=rcos,y=rsin,其中是参数.(3)椭圆椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的参数方程是x=acos,y=bsin,其中是参数.椭圆x2b2+y2a2=1(ab0)的参数方程是x=bcos,y=asin,其中是参数.必会结论直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0,y0),
27、且倾斜角为的直线l的参数方程为x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数).若A,B为直线l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:(1)t0=t1+t22;(2)|PM|=|t0|=t1+t22;(3)|AB|=|t1-t2|=|t2-t1|;(4)|PA|PB|=|t1t2|.必纠易错1.极坐标与直角坐标互化时,应满足以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系.2.将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.3.将普通方程化为参数方程时,应选择适当的参数,把点(x,y)的横、纵坐标分别用参数表示,同
28、时注意参数的意义和取值范围.12.不等式选讲必记知识1.绝对值不等式定理1:若a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)|x|0)-axa(a0)xa或x0)-cax+bc;|ax+b|c(c0)ax+b-c或ax+bc.(3)|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法有三种:一是根据绝对值的意义结合数轴直观求解;二是用零点分段法去绝对值,转化为三个不等式求解;三是构造函数,利用函数的图象求解.3.基本不等式定
29、理1:如果a,bR,那么a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理2:(基本不等式)如果a0,b0,那么a+b2ab,当且仅当a=b时,等号成立.即两个正数的算术平均数不小于(大于或等于)它们的几何平均数.定理3:如果a,b,c均为正实数,那么a+b+c33abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.柯西不等式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.必会结论1.两个定理的推广(1)|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|;(2)|a|-|b|ab|a|+|b|.2.基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即a1+a2+annna1a2an,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.必纠易错1.利用零点分段法解含有双绝对值的不等式时,需要确定每个绝对值函数的零点,再进行分类讨论,注意分类的“不重不漏”原则.2.利用零点分段法解含双绝对值的不等式时不能遗忘每一分段的解集与前提条件求交集,最后注意将各类的结果取并集.
