1、二次函数与一元二次方程一、知识点1.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当b24ac0，两个不相等的实数根；当b24ac0，两个相等的实数根；当b24ac0，无实根2.二次函数与不等式抛物线y= ax2bxc0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2bxc0的解集.二、标准例题：例1：如图，已知二次函数的部分图象，由图象可估计关于的一元二次方程的两个根分别是，A-1.6B3.2C4.4D5.2【答案】C【解
2、析】由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足23=x1+x2，而x1=1.6，x2=4.4故选C总结：此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较为简单的试题例2：如图，二次函数（）和一次函数的图象交于，两点，则方程（）的根为（）ABCD【答案】C【解析】解：，.方程的根即为二次函数（）与一次函数的图象交点的横坐标，二次函数（）和一次函数的图象交于，两点，方程（）的根为.故选C.总结：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解此题的关键
3、是将方程变形为，进一步将所求转化为求二次函数（）与一次函数的图象交点的横坐标，这类题目的求解，重在理解与领悟.最后结合抛物线的增减性进行判断.例3：二次函数yx2+bxt的对称轴为x2若关于x的一元二次方程x2+bxt0在1x3的范围内有实数解，则t的取值范围是（）A4t5B4t3Ct4D3t5【答案】A【解析】解：抛物线的对称轴x2，b4，则方程x2+bxt0，即x24xt0的解相当于yx24x与直线yt的交点的横坐标，方程x2+bxt0在1x3的范围内有实数解，当x1时，y1+45，当x3时，y9123，又yx24x（x2）24，当4t5时，在1x3的范围内有解t的取值范围是4t5，故选：
4、A总结：本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程的解相当于与直线y=k的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.例4：某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：其中，_（）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分（）观察函数图象，写出一条性质_（）进一步探究函数图象发现：方程有_个实数根关于的方程有个实数根时，的取值范围是_【答案】（）（）（）当时，随的增大而增大（）【解析】（1）x=-2时，m=x2-2
5、l-2l=0；（）如图所示（）由函数图象知：时随的增大而增大；函数图像关于y轴对称;（）如图：时即，令轴有个交点，分别是、；即答案为3;由函数图象知：关于的方程有个交点，的取值范围是总结：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.三、练习1已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】，抛物线与轴没有公共点，解得，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，而当时，随的增大而减小，实数的取值
6、范围是，故选D2如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论：；是关于的一元二次方程的一个根其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点在轴上方，所以正确；，所以错误；，把代入得，所以错误；，对称轴为直线，是关于x的一元二次方程的一个根，所以正确；综上正确的有2个，故选B.3已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】A【解析】解：关于的一元二次方程的解为，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，二次函数与轴交点坐标为，如图：当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；又；
7、，故选：A4对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数yx2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x11x2，则c的取值范围是( )Ac3Bc2CcDc1【答案】B【解析】由题意知二次函数yx2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+cx的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c0，所以=1-4c0，又x2+x+c0的两个不相等实数根为x1、x2，x11x2，所以函数y= x2+x+c0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c0，可得抛物线的开口向上对称轴为：所以可得在范围内，二次函数在，y随x的增大而减小，在上
8、y随x的增大而增大.所以当取得最小值，最小值为：当取得最大值，最大值为：所以故答案为：12抛物线与轴的交点坐标是_【答案】，【解析】令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=3或x=-1则抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标是（3，0），（-1，0）故答案为（3，0），（-1，0）13已知函数y=-x2+2x(x0)x(x0)的图象如图所示，若直线y=x+m与该图象恰有两个不同的交点，则m的取值范围为_【答案】0m0，与y=-x2+2x有两个交点，x+m=-x2+2x，=1-4m0，m14，0m14；故答案为0m1414抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是_【答案】，.【解析】依题
9、意，得：，解得：，所以，关于x的一元二次方程a(x1)2cbbx为：，即：，化为：，解得：，故答案为：，.15已知m，n是方程（xa）（xb）10（其中ab）的两根，且mn，则a，b，m，n的大小关系是_【答案】mabn【解析】函数y（xa）（xb）与x轴的交点坐标的横坐标为a与b，二次函数y（xa）（xb）1相当于y（xa）（xb）向下平移一个单位，又二次项系数为1，开口向上，如图所示：由图可得：mabn故答案为：mabn16如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_【答案】或【解析】解：抛物线与直线交于，两点，抛物线与直线交于，两点，观察函数图象可知：当或时
10、，直线在抛物线的下方，不等式的解集为或故答案为：或17如图，直线ymx+n与抛物线yax2+bx+c交于A（1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+nax2+bx+c的解集是_【答案】1x4【解析】观察函数图象可知：当1x4时，直线ymx+n在抛物线yax2+bx+c的下方，不等式mx+nax2+bx+c的解集为1x4故答案为：1x418已知k是常数，抛物线yx2(k2k6)x3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.(1)求k的值：(2)若点P在抛物线yx2(k2k6)x3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，5)或(2，5).【
11、解析】(1)抛物线y=x2+(k2+k6)x+3k的对称轴是y轴，即k2+k6=0，解得k=3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，当k=3时，二次函数解析式为y=x29，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，k=3；(2)P到y轴的距离为2，点P的横坐标为2或2，当x=2时，y=5；当x=2时，y=5，点P的坐标为(2，5)或(2，5).19在画二次函数的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下1012363236乙写错了常数项，列表如下：10123212714通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数的表达式；(2)对于二次函数，当_时
12、，的值随的值增大而增大；(3)若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围【答案】(1)；(2)；(3).【解析】解：（1）由甲同学的错误可知c=3，由甲同学提供的数据选x=-1，y=6；x=1，y=2，有，a=1,由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的；由乙同学提供的数据，可知c=-1，选x=-1，y=-2；x=1，y=2，有，a=1，b=2，y=x2+2x+3；（2）y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1，抛物线开口向上，当时，的值随的值增大而增大；故答案为；(3)方程有两个不相等的实数根，即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，；20已知抛物线.（1）若，求该抛物线与轴公共点的
13、坐标；（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1）和.（2）或【解析】（1）当，时，抛物线为，方程的两个根为，.所以该抛物线与轴公共点的坐标是和.（2）当时，抛物线为，且与轴有公共点.对于方程，判别式，有.当时，由方程，解得，此时抛物线为与轴只有一个公共点；当时，时，时，.由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有，即，解得.综上，或.21已知函数（为常数）.（1）该函数的图象与轴公共点的个数是（）.A0 B1 C2 D1或2（2）求证：不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上.（3）当时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.【答案】（1）D（2）详见解析；（3）当时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是.【解析】（1）因为，故选D.（2）配方得，所以该函数的图象的顶点坐标为.把代入，得.因此，不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上.（3）设函数的图象的顶点纵坐标.当时，有最小值0.当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.又当时，；当时，.因此，当时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是.
