1、第1课时等差数列前n项和公式的推导及简单应用学习目标1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个知识点等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式SnSnna1d1等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加()2若数列an的前n项和Snkn(kR)，则an为常数列()3等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍()4123100.()一、等差数列前n项和的有关计算例1在等差数列an中：(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a14，S81
2、72，求a8和d.解(1)解得a15，d3.a8a62d102316，S1010a1d10(5)59385.(2)由已知得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用跟踪训练1在等差数列an中：(1)a11，a
3、47，求S9；(2)a3a1540，求S17；(3)a1，an，Sn5，求n和d.解(1)设等差数列an的公差为d，则a4a13d13d7，所以d2.故S99a1d9281.(2)S17340.(3)由题意得，Sn5，解得n15.又a15(151)d，所以d，所以n15，d.二、等差数列前n项和的比值问题例2有两个等差数列an，bn满足，求.解方法一设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，则，则有，又由于，观察，可在中取n9，得.故.方法二设an，bn的前n项和分别为An，Bn，则有，其中An，由于a1a92a5.即a5，故A9a59.同理B9b59.故.故.方法三设an，bn的前n项和分
4、别为An，Bn，因为等差数列的前n项和为Snan2bnan，根据已知，可令An(7n2)kn，Bn(n3)kn(k0)所以a5A5A4(752)k5(742)k465k，b5B5B4(53)k5(43)k412k.所以.方法四设an，bn的前n项和分别为An，Bn，由，有.反思感悟设an，bn的前n项和为Sn，Tn，则anbnS2n1T2n1.跟踪训练2已知等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn，Tn，则等于()A. B. C1 D2答案A解析由等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质得S1111a6，同理可得T1111b6，因此，.1已知数列an的通项公式为an23n，nN*，则an的前n
5、项和Sn等于()An2Bn2C.n2D.n2答案A解析an23n，a1231，Snn2.2在等差数列an中，若a2a88，则该数列的前9项和S9等于()A18 B27 C36 D45答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.3已知等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d为()A1 B. C2 D3答案C解析因为S36，而a34，所以a10，所以d2.4在等差数列an中，已知a1010，则S19_.答案190解析S19190.5已知在等差数列an中，a1，d，Sn15，则n_，a12_.答案124解析Snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，a12(121)4
6、.1知识清单：(1)等差数列前n项和及其计算公式(2)等差数列前n项和公式的推导过程(3)由an与Sn的关系求an.(4)等差数列在实际问题中的应用2方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想3常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n1的讨论1已知等差数列an的前n项和为Sn，若2a6a86，则S7等于()A49 B42 C35 D28答案B解析2a6a8a46，S7(a1a7)7a442.2在等差数列an中，已知a110，d2，Sn580，则n等于()A10 B15 C20 D30答案C解析因为Snna1n(n1)d10nn(n1)2n29n，所以n29n580，解得n20或n29(舍)3设
7、an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和若S10S11，则a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析由S10S11，得a11S11S100，所以a1a11(111)d0(10)(2)20.4(多选)在等差数列an中，d2，an11，Sn35，则a1等于()A1 B3 C5 D7答案AB解析由题意知a1(n1)211，Snna1235，由解得a13或1.5在等差数列an中，已知a112，S130，则使得an0的最小正整数n为()A7 B8C9 D10答案B解析由S130，得a1312，则a112d12，得d2，数列an的通项公式为an12(n1)22n14，由2n140，得n7，即使
8、得an0的最小正整数n为8.6已知an是等差数列，a4a66，其前5项和S510，则其首项a1_，公差d_.答案1解析a4a6a13da15d6，S55a15(51)d10，由联立解得a11，d.7设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k_.答案5解析因为Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d21(2k1)24k424，所以k5.8在等差数列an中，S104S5，则_.答案解析设数列an的公差为d，由题意得10a1109d4，所以10a145d20a140d，所以10a15d，所以.9在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列
9、的通项公式；(2)若Sn242，求n.解(1)设数列an的首项为a1，公差为d.则解得ana1(n1)d12(n1)2102n.(2)由Snna1d以及a112，d2，Sn242，得方程24212n2，即n211n2420，解得n11或n22(舍去)故n11.10已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2n.11在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A765 B665 C763 D663答案B解析a12，d7
10、,2(n1)7100，n200.当n19时，剩余钢管根数最少，为10根15如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2a3a4an等于()A.B.C.D.答案C解析由图案的点数可知a23，a36，a49，a512，所以an3n3，n2，所以a2a3a4an.16已知等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，且a2a345，S428.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(c为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求c的值解(1)S428，28，a1a414，a2a314，又a2a345，公差d0，a2a3，a25，a39，解得an4n3，nN*.(2)由(1)，知Sn2n2n，bn，b1，b2，b3.又bn也是等差数列，b1b32b2，即2，解得c(c0舍去)
