1、考点1利用空间向量方法求空间角（2018北京卷（理）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC5，ACAA12.（1）求证：AC平面BEF；（2）求二面角BCDC1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交【解析】（1）证明在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF.又ABBC，所以ACBE，又BE，EF平面BEF，BEEFE，所以AC平面BEF.（2）由（1）知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面A
2、BC因为BE平面ABC，所以EFBE.如图，以E为原点，EA所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B（0,2,0），C（1,0,0），D（1,0,1），E（0,0,0），F（0,0,2），G（0,2,1）所以BC（1，2,0），BD（1，2,1）设平面BCD的法向量为n（x0，y0，z0），则nBC=0,nBD=0,即-x0-2y0=0,x0-2y0+z0=0.令y01，则x02，z04.于是n（2，1，4）又因为平面CC1D的法向量为EB（0,2,0），所以cosn，EBnEBnEB2121.由题意知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为2121.（3）证明由（2）知平面BCD的法向量为n（2，1，4），FG（0,2，1）因为nFG20（1）2（4）（1）20，所以直线FG与平面BCD相交【答案】见解析
