1、第四章对数运算与对数函数2对数的运算2.2换底公式知识点对数的换底公式1.%8#65￥7￥%(2020银川一中月考)log29log34=()。A.14B.12C.2D.4答案：D解析：原式=log232log322=4log23log32=4lg3lg2lg2lg3=4。故选D。2.%11#*4#3%(2020菏泽高一检测)log849log27的值是()。A.2B.32C.1D.23答案：D解析：log849log27=log272log223log27=23。故选D。3.%0#90#￥0*%(2020江西赣州十三县市高一期中考试)若log2xlog34log59=8,则x等于()。A.8
2、B.25C.16D.4答案：B解析：因为log2xlog34log59=lgxlg2lg4lg3lg9lg5=lgxlg22lg2lg32lg3lg5=8,所以lgx=2lg5=lg25,所以x=25。故选B。4.%#*#29#62%(2020白城一中月考)化简:log212+log223+log234+log21516等于()。A.5B.4C.-5D.-4答案：D解析：原式=log21223341516=log2116=-4。故选D。5.%￥774#3%(2020闽侯八中高一月考)若log34log8m=log416,则m等于()。A.3B.9C.18D.27答案：D解析：原式可化为log8
3、m=2log34,所以13log2m=2log43,所以m13=3,m=27。故选D。6.%￥6#*#258%(2020黄冈中学检测)已知lg2=a,lg3=b,则log36=()。A.a+baB.a+bbC.aa+bD.ba+b答案：B解析： log36=lg6lg3=lg2+lg3lg3=a+bb,故选B。7.%￥5*16#2%(2020上海理工大附中高一期中)已知log32=a,则log3218用a表示为。答案：a+25a解析：因为log32=a,所以log23=1a,所以log3218=15log2(232)=15(1+2log23)=151+21a=a+25a。题型1换底公式的基本运
4、用8.%￥*9410%(2020德州一中月考)若a=log523,b=log83,c=12log22,则a,b,c三数的大小关系是()。A.acbB.abcC.cabD.cba答案：A解析： ac0a。故选A。9.%2#1#￥45%(2020平定一中模拟)已知方程x2-xlog26+log23=0的两根分别为,则3131=()。A.36B.18C.12D.6答案：D解析：由根与系数的关系可得+=log26,=log23。所以1+1=+=log26log23=log36,故3131=31+1=3+=3log36=6。故选D。10.%*4*2*88￥%(2020北安一中检测)已知x,y,z都是大于
5、1的正数,m0且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为()。A.160B.60C.2003D.320答案：B解析：由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=112,logmx=124,logmy=140,故logmz=112-logmx-logmy=112-124-140=160,所以logzm=60。故选B。11.%64*51*%(2020临川一中期中考试)若2.5x=1000,0.25y=1000,则1x-1y=()。A.13B.3C.-13D.-3答案：A解析：因为x=log2.51000,y=log0.251000,所以1x=
6、1log2.51000=1log10001000log10002.5=log10002.5,同理1y=log10000.25,所以1x-1y=log10002.5-log10000.25=log100010=lg10lg1000=13。故选A。12.%6241*￥%(2020玉溪一中月考)化简(log43+log83)(log32+log92)=。答案：54解析：原式=log23log24+log23log281log23+1log232=54。13.%464￥0#%(2020珠海一中月考)若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则lgab2的值为。答案：2解析：由根与系数的关系,
7、得lga+lgb=2,lgalgb=12,所以lgab2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lgalgb=22-412=2。14.%*787*0%(2020汾河一中月考)方程log2x+1log(x+1)2=1的解是x=。答案：1解析：原方程可变为log2x+log2(x+1)=1,即log2x(x+1)=1,所以x(x+1)=2,解得x=1或x=-2。又x0,x+10,x+11,即x0,所以x=1。15.%1*56#￥6*%(2020衡水高一统考)已知f(x)=x+log2x9-x,则f(1)+f(2)+f(3)+f(8)的值为。答案：36解析：因为f(x)=x+log2x9-x
8、,所以f(9-x)=9-x+log29-xx,故f(x)+f(9-x)=9;故f(1)+f(2)+f(3)+f(8)=f(1)+f(8)+f(4)+f(5)=49=36。16.%￥6#66￥1%(2020南宁三中高一段考)计算:(1)log225log322log59;答案：解:原式=2log2532log322log53=6lg5lg2lg2lg3lg3lg5=6。(2)log23log32-12-2log43+492560.5+6427-23。答案：因为log23log32=1,12-2log43=4log43=3,492560.5=4925612=716,6427-23=433(-23)
9、=43-2=916,所以log23log32-12-2log43+492560.5+6427-23=1-3+716+916=-1。题型2对数方程的求解17.%227#*0%(2020昆明三中检测)解下列方程:(1)12(lgx-lg3)=lg5-12lg(x-10);答案：解:首先,方程中的x应满足x10,其次,原方程可化为lgx3=lg5x-10,所以x3=5x-10,即x2-10x-75=0。解得x=15或x=-5(舍去),经检验x=15是原方程的解。(2)lgx+2log10xx=2;答案：首先,x0且x110,其次,原方程可化为lgx+2lgx1+lgx=2,即(lgx)2+lgx-2
10、=0。令t=lgx,则t2+t-2=0,解得t=1或t=-2,即lgx=1或lgx=-2。所以x=10或x=1100。经检验x=10或x=1100都是原方程的解。(3)log(x2-1)(2x2-3x+1)=1。答案：首先,x2-10且x2-11,即x1或x0,得x1。综上x1或x1或x0,43x-80,即(3x)2-43x+3=0,9x5,3x2,所以x=1。(2)设0a1,x,y满足logax+3logxa-logxy=3,如果y有最大值24,求a的值。答案：因为logax+3logxa-logxy=3,logax+3logax-logaylogax=3,所以logay=(logax)2-3logax+3=logax-322+34。当logax=32时,logay有最小值34。又因为0a1),则x=log3k,y=log4k,z=log6k。由2x=py,得2log3k=plog4k=plog3klog34。因为log3k0,所以p=2log34。(2)求证:1z-1x=12y。答案：证明:因为1z-1x=1log6k-1log3k=logk6-logk3=logk2,又因为12y=12logk4=logk2,所以1z-1x=12y。
