1、江苏省南京市第十二中学2020-2021学年高二数学上学期第一次学情调研测试试题一、单选题（每题5分，共40分）1. 已知直线l的一个方向向量，且直线l过和两点，则A. 0B. 1C. D. 32. 平面的一个法向量是1，平面的一个法向量是，则平面与平面的位置关系是A. 垂直B. 平行C. 既不平行也不垂直D. 不确定3. 设直线l的方向向量为，平面a的法向量为，则使成立的是A. ，1，B. ，1，C. ，D. ，1，4. 如图，在正方体中，若E为的中点，则直线CE垂直于A. ACB. BDC. D. 5. 离心率为，且过点的椭圆的标准方程是A. B. 或C. D. 或6. 焦点在x轴的正半轴
2、上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是A. B. C. D. 7. 已知双曲线，的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为A. B. C. 2D. 8. 已知是椭圆C：上的一点，分别是椭圆C的左、右焦点，若，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题（每题5分，共20分，多选不给分，漏选得3分）9. 已知向量2，5，则平面ABC的一个单位法向量是 A. B. C. D. 10. 已知为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量不重合，那么下列选项中，正确的是A. B. C. D. 11. 下面四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题为 A. 设A、
3、B为两个定点，K为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C. 双曲线与椭圆有相同的焦点D. 已知抛物线，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切12已知点，是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使（）A3 B. 6 C. 9 D. 12三、填空题（每题5分，共20分）13双曲线上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是_ 14过抛物线的焦点的直线l交抛物线于，两点，若，则_15设有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，点A为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为_16已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值为_四、解答题
4、（共6大题，共70分）17（5+5）已知空间三点（1）求以为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量分别与垂直，且，求的坐标18（4+6）在直三棱柱中，底面是直角三角形，D为侧棱的中点求异面直线，所成角的余弦值；求二面角的平面角的余弦值19（4+6）已知双曲线C的中心为直角坐标系xoy的原点，它的右焦点为，虚轴长为2求双曲线C渐近线方程；若直线与C的右支有两个不同的交点，求k的取值范围20（5+7）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其长轴长是焦距的2倍，且经过点，为椭圆的左焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程21（4+8）已知抛物线C的焦点是椭圆的右焦点
5、，准线方程为求抛物线C的方程；若点P，Q是抛物线C上异于坐标原点O的任意两点，且满足，求证：直线PQ过定点22（4+6+6）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点求椭圆C的方程；如图，已知，是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A，B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由南京市第十二中学2020-2021学年第一学期高二年级第一次学情调研测试高二数学答案一、单选题（每题5分，共40分）1D 2A 3B 4B 5D 6D 7B 8A二、多项选择题（每题5分，共20分，多选不给分，漏选
6、得3分）9AB 10AB 11BD 12ABC 三、填空题（每题5分，共20分）132或18 147 152 160或1四、解答题（共70分）17（5+5）（1） （2） 或 18（5+5）解：如图所示，以C为原点，CA、CB、为坐标轴，建立空间直角坐标系，则0，0，2，0，2，0，所以0，所以即异面直线与所成角的余弦值为；因为2，0，0，所以，所以为平面的一个法向量，因为，0，设平面的一个法向量为n，y，由，得，令，则，2，所以，所以二面角的余弦值为19（4+6）（1） ，渐近线方程为：（2）设直线l与曲线C与右支的两交点为A，B且，联立消由题意可得：，解得：当A，B为直线l与C右支的两个交点时20（5+7）（1） （2）的斜率一定存在，设的方程：，设联立 ，消去得， ， 直线方程为21（4+8）解：抛物线C的方程；证明：设直线PQ的方程为，；，又，解得；联立，化为，解得；直线PQ过定点22（4+6+6）解：设椭圆C的方程为，抛物线的焦点为由，得，椭圆C的方程为设，设直线AB的方程为，代入，得，由，解得，四边形APBQ的面积当时，S取得最大值，且若，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为，直线PA的方程为，由消去y，得，将k换成可得，直线AB的斜率为定值12
