1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第三节 平面向量的数量积Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系考试热点1.向量数量积的运算仍将是高考考查的重点，经常以选择题，填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变2向量的数量积经常与三角函数、解三角形、解析几何等知识相结合命题的空间较大，且形式灵活
2、，全面考查能力，在知识的交汇处命题是高考的热点之一.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1数量积的概念：(1)向量的夹角：如图1，已知两个非零向量a和b，作则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，记作a，b图1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)数量积的定义：(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos的乘积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos.Copyright 2004
3、-2009 版权所有 盗版必究 2数量积的性质：设e是单位向量，a，e.(1).(2)(3).(4)(5)eaae|a|cos当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或abab0Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3运算律：(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.4向量数量积的坐标运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abx1x2y1y2；Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量a的模是()
4、A2 B4 C6 D12 解析：(a2b)(a3b)|a|2|a|b|cos60 6|b|2|a|22|a|9672，|a|22|a|240.(|a|6)(|a|4)0.|a|6.答案：CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3已知|a|1，|b|2，cab，ca，则a与b的夹角大小为()解析：ca，则ca0，即(ab)a0，即a2ab.aba21，即|a|b|cos1.答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
5、答案：2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 平面向量数量积的运算 例1(2009全国卷)设a、b、c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为()分析 先由条件ab0，知向量a与b垂直要使(ac)(bc)的值取得最小，就要把(ac)(bc)表示为某个变量的函数，从而转化为求函数的最小值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析 因为 ab0，所以 a 与 b 垂直又因为 a 与 b是单位向量，所以|ab|2.又(ac)(bc)1(ab)c1 2cosab，c，当ab，c0时，cos
6、ab，c取得最大值 1，此时(ac)(bc)的最小值是 1 2.答案 D 拓展提升 涉及直角或两直线垂直的问题均可利用ab0建立等式，线段的长度相等问题均可以建立|a|b|a|2|b|2a2b2的等式来解决Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)在直角三角形ABC中，C90，AB5，AC4，求(2)若a(3，4)，b(2,1)，试求(a2b)(2a3b)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)解法1：a2b(3，4)2(2,1)(1，6)，2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)，(a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)18.解法2：
7、(a2b)(2a3b)2a2ab6b2232(4)232(4)16(2212)18.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 利用平面向量的数量积解决夹角、长度问题Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题的突破点是把CCCCCC 转化到向量的数量积，进而求夹角，使三个角相等，从而得证Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009安徽高考)给定两个长度为1的平面向量。它们的夹角为120.如图2所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若，其中x，yR，则xy的最大值是_图2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必
8、究 解析：|1，x2y22xycos1201.3xy(xy)213()2，(xy)24.xy的最大值是2.答案：2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 利用平面向量的数量积解决垂直问题 例3(1)点O是三角形ABC所在平面内一点，满足：，则点O是ABC的()A内心 B外心 C重心D垂心(2)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 0，)，则P点的轨迹一定通过ABC的()A重心B垂心 C内心D外心Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析(1)由OA OB OB OC，得OB AC 0，即OBAC，同理OA BC，OC AB.故
9、选 D.(2)由OP OA(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)，0，得AP(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)则APBC(ABBC|AB|cosB AC BC|AC|cosC)(|BC|BC|)0.故 APBC，P 点的轨迹一定通过ABC 的垂心Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案(1)D(2)BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是多少？解：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 平面向量数量积的综合问题 例4(20
10、09宁夏、海南高考)已知点O，N，P在ABC所在平面内，且则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心D外心、重心、内心 分析 要判定O，N，P是ABC的什么心，就是要根据条件和三角形重心、外心、内心、垂心的定义和平面向量的有关知识分析点O，N，P在三角形ABC中的位置Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析 由|OA|OB|OC|，可知点 O 到ABC 三个顶点的距离相等，所以点 O 是ABC 的外心设 BC 的中点为 M，由NA NBNC 0，得NA 2NM 0，所以点 N是ABC 的重心由PAPBPCPA，得PA(PBP
11、C)PACB0，所以PACB，同理，PBAC、PC AB，所以点 P 是ABC 的垂心 答案 CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题主要考查三角形的重心、外心、内心、垂心的含义和平面向量模的几何意义、向量的线性运算的几何意义及向量数量积的几何意义等有关知识，考查数形结合的数学思想Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009浙江高考)设向量a，b满足：|a|3，|b|4，ab0.以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A3 B4C5 D6 解析：因为ab0，所以ab.又|a|3，|b|4，所以
12、|ab|5.不难得到此三角形的内切圆的半径为1，外接圆的半径为，借助图形分析，以a，b，ab的模为边长构成三角形的边与半径为1的圆的公共点个数最多为4个，不可能为5或6个 答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1掌握平面向量数量积的概念及几何意义理解两个向量的数量积是一个数量，其大小与两个向量的长度及夹角有关数量ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos乘积 2关于数量积的运算律，一定要注意以下几点：若a0，则ab0，但是ab0，不能得到a0或b0.因为ab时ab0；若ac，则abcb，但是由abcb，不能得到ac，即消去律不成立；(ab)ca(bc)，因为(ab)c与c平行，a(bc)与a平行，一般地a，c不共线，故(ab)ca(bc)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3关于数量积的应用 根据数量积的定义与运算律，可以看到数量积在处理有关长度、角度、垂直问题方面有特别的作用，应充分注意下列三个公式：|a|，这是处理与长度(距离)有关问题的依据 cos，这是求角的主要依据 ab0ab(a，b为非零向量)，这是判定垂直的主要依据，应用时要注意非零向量这个条件Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
