1、第七节 双 曲 线【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)双曲线的定义.平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c0)的距离_为常数 2a(2a0,c0.()当_时,M点的轨迹是双曲线;()当_时,M点的轨迹是两条射线;()当_时,M点不存在.2a|F1F2|(2)双曲线的标准方程和几何性质.图形 标准方程 _(a0,b0)_(a0,b0)性 质 范围 _ _ 对称性 对称轴:_ 对称中心:_ 对称轴:_ 对称中心:_ 2222xy1ab2222yx1abxa或x-a y-a或ya 坐标轴 原点 坐标轴 原点 性 质 顶点 顶点坐标:A1_,A2_ 顶点坐标:A1_,A2_ 渐近线
2、 y=_ y=_ 离心率 e=_,e_ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=_;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=_;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c间 的关系 c2=_(ca0,cb0)(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)b xaa xbca(1,+)2a 2b a2+b2 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e=_双曲线的两条渐 近线互相_.(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系:当焦点在x轴上时,渐近线斜率为 ,当焦点在y轴上时,渐近线斜率为 .(3)渐近线与离心率.=1(a0,b
3、0)的一条渐近线的斜率为 =_.(4)若P为双曲线上一点,F为其对应焦点,则|PF|_c-a.2垂直 baab2222xyabba2e1 3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:定义法、待定系数法、点差法.(2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想、方程思想.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(3)方程 表示焦点在x轴上的双曲线.()22xy1(mn0)mn(4)双曲线方程 的渐近线方程是 即 ()22
4、22xy(m0,n0,0)mn 2222xy0mn，xy0.mn【解析】(1)错误.由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部.(2)错误.因为|MF1|-|MF2|=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线.(3)错误.当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m0,n0,b0)的渐近线方程为y=x，即 所以当0时，(m0,n0)的渐近线方程为 即 即 同理当0,b0),由椭圆 得焦点为(1,0),顶点为(2,0).所以双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0).所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以双曲线标准方程为x2-=1.答案:x2-=1 22xy1432222xy
5、1ab22xy1432y32y33.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014天津高考)已知双曲线 (a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()2222xy1ab 22222222xyxyA.1 B.15202053x3y3x3yC.1 D.12510010025【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上,易知直线l过双曲线 左焦点,所以0=-2c+10,即c=5,又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故有 =2,结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为 ba22xy1.520(2)(2014新课标全
6、国卷)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3 B.3 C.3m D.3m【解析】选A.双曲线C：则c2=3m+3，设焦点F(,0)，一条渐近线方程为 所以点F到渐近线的距离为 22xy13m3，c3m3，3m33yxxmy03m，即，3m3d3.m1(3)(2014广东高考)若实数k满足0k9，则曲线 与曲线 的()A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 22xy1259k 22xy125k9【解析】选A.因为0kb0，椭圆C1的方程为 双曲线 C2的方程为 C1与C2的离心率之积为 则C2的渐近线方程 为()
7、A.x y=0 B.xy=0 C.x2y=0 D.2xy=0 2222xy1ab，2222xy1ab，32，22【解析】选A.椭圆的离心率的平方为 双曲线的离心率的平方为 所以 所以a4=4b4.所以 双曲线的渐近线方程为 故选A.2222122cabeaa，2222222cabeaa，4421 24ab3(e e)a4，b2.a22yxx2y02，即，考点1 双曲线的定义及其应用【典例1】(1)设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则PF1F2的面积等于()A.4 B.8 C.24 D.48 2y2423(2)已知F1,F2为双曲线 =1
8、的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一 点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为()(3)已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等 于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为 .22xy54A.374 B.374C.372 5 D.372 522xy916【解题提示】(1)由双曲线的定义及3|PF1|=4|PF2|可求出|PF1|,|PF2|的值.(2)|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a,故要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值即可.(3)可想法求出|FP|+|FQ|,再求周长.【规范解答】(1)选
9、C.双曲线的实轴长为2,焦距为|F1F2|=25=10.据 题意和双曲线的定义知,2=|PF1|-|PF2|=|PF2|-|PF2|=|PF2|,所以|PF2|=6,|PF1|=8.所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1PF2,所以|PF1|PF2|=68=24.43131 2PF F1S212(2)选C.|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a,要求|AP|+|AF2|的最小值,只 需求|AP|+|AF1|的最小值,当A,P,F1三点共线时,取得最小值,则|AP|+|AF1|=|PF1|=,所以|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a=-2 .37375(
10、3)显然,点A为双曲线的右焦点,P,Q都在双曲线的右支上,|PQ|=16,由双曲线的定义得:|FP|-|PA|=6,|FQ|-|QA|=6,两式相加,|FP|+|FQ|-|PA|-|QA|=12,即|FP|+|FQ|-|PQ|=12,所以|FP|+|FQ|=28,所以PQF的周长为|FP|+|FQ|+|PQ|=44.答案:44【易错警示】解答本题(3)易出现以下两点错误(1)不判断PQ的位置,造成思路受阻,无法进行下去.(2)对PQ位置判断错误,得出错误结论.【互动探究】若将本例(1)中“3|PF1|=4|PF2|”改为“PF1PF2”,如何求解?【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,则
11、解之得mn=48.所以 mn=24.1 2PF F1S22222mn100,mn2mn4,【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.(2)技巧:经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1|PF2|的联系.提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a0,b0)的焦点分别为F1,F2,过F1作直线交双曲线的左支于A,B两点,且|AB|=m,则ABF2的周长为 .2222xy1ab【解析】由|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,又|A
12、F1|+|BF1|=|AB|=m,所以|AF2|+|BF2|=4a+m.那么ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.答案:4a+2m 2121|AFAF|2a,|BFBF|2a3.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若 PF1PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 .【解析】设P在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x0),因为 PF1PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以x=-1,x+2=+1,所以|PF2|+|PF1|=2 .答案:2 3333考点2 双曲线的标准方程及性质 知考情 双曲线的标准方程的求
13、解以及双曲线的渐近线、离心率的求解是每年高考的一个热点,难度适中,且多以选择题或填空题的形式出现.明角度 命题角度1:求双曲线的标准方程【典例2】(2014江西高考)过双曲线C:的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()2222xy1ab22222222xyxyA.1 B.141279xyxyC.1 D.188124【解题提示】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【规范解答】选A.设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=1
14、6,故a=2,b2=12,所以方程为 =1.22xy412命题角度2：求双曲线的离心率【典例3】(2014重庆高考)设F1,F2分别为双曲线 (a0,b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于a,b的等式，进而求出 离心率的值.2222xy1abA.2B.15C.4D.17【规范解答】选D.由双曲线的定义知，(|PF1|-|PF2|)2=4a2,又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,等号两边同除以a2，化简得 2bb()340aa，222222bb41a
15、accabbe1()17.aaaa 解得或舍去，故离心率【互动探究】若将本例中“(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab”改为“|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab”,如何求解?【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设mn0,94mn3b,mn2a,9m nab.49 mn mn1m nm3n(mn.4323455an,bncn,e.333 于是所以舍去)所以所以悟技法 1.求双曲线的标准方程的方法(1)定义法:由条件判定动点的轨迹是双曲线,求出a2,b2,写出方程.(2)待定系数法:即“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应注意分类讨论或恰当设置简化讨
16、论.常见设法有：与双曲线 共渐近线的可设为 (0)；若渐近线方程为 则可设为 (0);若过两个已知点，则设为 (mn0,b0)的渐近线的方法是令 =0,即得两 渐近线方程 =0.2222xy1ab2222xyabxyab通一类 1.(2014大纲版全国卷)双曲线C：(a0,b0)的离心率 为2，焦点到渐近线的距离为 ，则C的焦距等于()A.2 B.2 C.4 D.4 【解析】选C.渐近线的斜率为 解得c2-3=1，所以c=2，则2c=4.2222xy1ab222b3ck2aac3，且，32.(2015成都模拟)已知F1,F2分别是双曲线 =1(a0,b0)的 左、右焦点,过F2且与双曲线的一条
17、渐近线平行的直线交双曲线另一 条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线的离心率 的取值范围是()2222xyabA.12B.(23)C.3 2D.(2)，【解析】选D.联立方程 解上式得：b23a2,即c2-a23a2,即c24a2,所以 4,即e2.byxc,abyxa，22cx,cbccbc2M(,),OM()()c,bc22a22ay,2a 解得所以22ca3.(2014浙江高考)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线 (ab0)两条渐近线分别交于点A,B，若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是_.【解题提示】求出A,B的坐标，写出AB中点Q的坐
18、标，因为|PA|=|PB|，所以PQ与已知直线垂直，寻找a与c的关系.2222xy1ab【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y=x与y=分别与x-3y+m=0(m0)联立方程组，解得 设AB的中点为Q，则 因为|PA|=|PB|，所以PQ与已知直线垂直，所以kPQ=3，解得 2a2=8b2=8(c2a2)，即 答案：bab xa，ambmA(,)a3b a3b，ambmB(,)a3b a3b，amambmbma3ba3b a3ba3bQ(,)22，22c5 c5.a4 a2，52考点3 双曲线与直线、圆及其他圆锥曲线的综合【典例4】(1)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲 线
19、C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的 公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()2x436A.2 B.3 C.D.22(2)(2014江西高考)如图,已知双曲线C:-y2=1(a0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).求双曲线C的方程.过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N,证明点P在C上移动时,恒为定值,并求此 定值.22xa02x xa32MFNF【解题提示】(1)由已知条件求解双曲线中的a,c或是它们之间的关 系.(2)写出直线OB、直线BF
20、的方程联立得B点坐标,A点坐标可求,进而根据ABOB可得a的方程求解.由题意可得点M,N的坐标可用x0,y0表示,进而 可表示,又点P在 双曲线上,进而可求得 具体的值.MFNFMFNF【规范解答】(1)选D.设双曲线实半轴长为a，半焦距为c，|AF1|m，|AF2|n，由题意知c ，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8，2a|mn|则双曲线的离心率 故选D.3222mn4,mn2c12,2 2a2，c36ea22，(2)设F(c,0)，因为b=1，所以 直线OB的方程为 直线BF的方程为y=(x-c)，解得 又直线OA的方程为y=x，2ca1，1yxa，1accB(,)
21、22a，1aAB222cc()c3a2aA(c,)k.caac231ABOB,()1a3,aaxCy1.3 则，又因为所以，解得故双曲线 的方程为由知 则直线l的方程为 -y0y=1(y00)，即 因为直线AF的方程为x=2，所以直线l与AF的交点 直线l与直线x=的交点为 a3,0 x x300 x x3y.3y002x3M(2,)3y，32003 x33 2N(,)23y，20222200022222200000202x33y2x3MF(2x3)439y93NF3y3 x2(x3)x2124443y则，因为P(x0,y0)是C上一点，则 -y02=1代入上式 20 x32022022020
22、220022200002x33yMF3NF(x3)1243y2x32x3444,33 4x12x93x33 x2MF22 3.NF33 得则所求定值为【规律方法】解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时,要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系,再结合双曲线的几何性质求解.(2)解决直线与双曲线的综合问题,通常是联立直线方程与双曲线方程,消元求解一元二次方程即可,但一定要注意数形结合,结合图形注意取舍.【变式训练】如图,双曲线 =1(a0,b0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F
23、1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则(1)双曲线的离心率e=.(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 =.2222xyab12SS【解析】(1)化简得:a2+ac-c2=0,即e2-e-1=0.又e1,则 (2)由题意知:S1=2bc,在OF2B2中连接OA，则AF2=b,矩形ABCD边长 答案:2222OF B11Sbcbca,2215e.2232312232Sabaa bc125AD2,AB2S42bce.cccS4a b22，则 15251222【加固训练】1.(2015遵义模拟)与曲线 共焦点，且与曲线 共渐近线的双曲线方程为()22xy124492
24、2xy1366422222222yxxyA.1B.1169169yxxyC.1D.1916916 【解析】选A.因为 的焦点坐标为(0，5),又双曲线与曲线 共渐近线，所以设双曲线方程为 (0),且有64+36=52，所以 即所求双曲线方程为 22xy1244922xy1366422yx6436 1,4 22yx1.1692.(2015南充模拟)已知双曲线C：的左、右焦点分别是 M，N.正三角形AMN的一边AN与双曲线右支交于点B，且 则双曲线C的离心率为()2222xy1abAN4BN，3131A.1B.231331C.1D.32 【解析】选B.因为三角形AMN是正三角形，其边长MN=2c,
25、2222cAN4BN,BNm,AN4m2c,m,2cBM2am2a,BMN2cc4c(2a)142cos 60,c22 2c21311313e2e40,e,e.33 设则解得根据双曲线的定义可得在三角形中，由余弦定理得整理得：即或舍去3.(2012福建高考)已知双曲线 1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()222xy4bA.5B 4 2C 3D 5【解析】选A.易求得抛物线y212x的焦点为(3,0)，故双曲线 的右焦点为(3,0)，即c3，故324b2，所以b25，所以双曲线的渐近线方程为y ，所以双曲线的焦点到其渐近 线的距离为 222xy14b5
26、 x25|3|25.514自我纠错22 求双曲线的离心率【典例】(2015长春模拟)双曲线的两条渐近线的夹角为60,则双曲线的离心率为_.【解题过程】【错解分析】分析上面的解题过程,你知道错在哪里吗?提示:上述解题过程错在把两渐近线的夹角认为是60,误认为直线 y=x的倾斜角为30而导致解题错误.ba【规避策略】1.正确识别两渐近线的夹角与倾斜角的关系 由于双曲线的两条渐近线关于坐标轴对称,所以当两渐近线的夹角为 时,第一象限内的渐近线的倾斜角应为 .222或2.正确理解渐近线与双曲线标准方程的关系(1)对于 方程表示的曲线一定要视m,n的不同取值进行讨 论，m,n的取值不同表示的曲线就不同.(2)对于双曲线 (mn0)的焦点位置不同，则 的值就不一 样，一定要注意区分.22xy1mn22xy1mnba【自我矫正】不妨设双曲线方程为 (a0,b0),则渐近线斜 率是 而夹角是60，因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角 是30或60，2222xy1abb,a222222222b3btan 30tan 603.a3ab34,a3bcaba,a33c42 3e,e.a33 即或若则，又所以即答案：222222222b3,b3a,cab4a,ace4,e2.a2 32.3若则又所以即故双曲线的离心率为或2 323 或
