1、2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题1.复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可详解】，则故选A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2.下列各式化简正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据向量的加减运算，逐个进行判断即可求解结论【详解】解：因为，故错误；，故正确；，故错误；，故错误.故选：B【点睛】本题考查平面向量的加减法基本运算，属于基础题3.已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，故选
2、B.考点：本题考查平面向量坐标运算，属于容易题.4.下列命题中正确的有（ ）一个棱柱至少有5个平面；正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；正方形的直观图是正方形；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用棱柱的定义判断的正误；利用正棱锥的定义判断；棱台的侧棱所在的直线必交于一点判断的正误；正方形的直观图判断的正误即可【详解】解：因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故正确；正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，射影侧面都是全等的等腰三角形，故正确；不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与
3、一点；正方形的直观图是平行四边形，所以不正确；正确的命题只有故选：B【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及棱锥、棱柱、棱台以及直观图的基本知识，考查对概念的理解5.已知，则（ ）A. ，三点共线B. ，三点共线C. ，三点共线D. ，三点共线【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理，证明与共线，即可得出结论【详解】解：，与共线，、三点共线故选：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，属于基础题6.在中，角所对的边分别为，已知，则边为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，得到，再由三角形的面积求得的值，再利用余弦定理即可求得的值【详
4、解】解：由题可知，又，即：，解得：，故选：C【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用，以及利用余弦定理解三角形，考查计算能力7.在中，向量和满足，则为（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 三边不等的三角形【答案】C【解析】【分析】根据中，代入已知式子中，化简得，所以为等腰三角形【详解】解：中，为等腰三角形故选：C【点睛】本题考查三角形形状的判断，以及平面向量的线性运算的应用8.在中，角所对的边分别为，则角为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】在中利用正弦定理求出角，再利用三角形内角和，即可求出角【详解】解：在中，由正弦定理得：，即，又，或，或.故选
5、：C【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，考查了计算能力9.已知等边的边长为1，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系【详解】解：因为三角形是等边三角形，边长为1，各内角为，所以.故选：D【点睛】本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补10.如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样四面体得到的，如果正方体的棱长是，那么石凳的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案【详解】解：
6、由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是：，正方体的体积为：，则石凳的体积是：故选：B【点睛】本题考查正方体与三棱锥体积的求法，是基础的计算题二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分把答案填在题中横线上）11.计算复数_.【答案】【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为_.【答案】.【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.，.
7、故答案为:.【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.13.等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为_.【答案】【解析】【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可【详解】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，故答案为：【点睛】本题考查圆锥的结构特征和体积公式，属于基础题14.如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30，则水塔的高度为_米【答案】【解析】设，则，则，故答案为.15.在复平面内，复数与对应的向量分别是，其中O是原点，则向量的坐标为_【答案】【解析】【分析
8、】由已知求得的坐标，再由向量的坐标减法求解【详解】由题意，向量的坐标为.故答案为：【点睛】本题考查复数的几何意义，考查向量的坐标减法运算，是基础题16.平面向量两两夹角都相等，且，则_.【答案】5或【解析】【分析】由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或，由于三个向量的模已知，当两两夹角为时，直接算出结果；当两两夹角为时，采取平方的方法求三个向量的和向量的模【详解】解：因为由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或，当两两夹角时，方向相同，则；当两两夹角时，由于，则：，即：，综上得：或.故答案为：5或【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运
9、算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.三、解答题：（5个题，共46分）17.当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？（1）复数实数；（2）复数纯虚数；（3）复平面内，复数对应的点位于直线上.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）由虚部为0，求解值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解值【详解】解：由题可知，复数，（1）当为实数时，则虚部为0，由，解得：或；（2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0，由，解得：；（3）当对应的点位于直线上时，则，即：实部与虚部的和为0，由，解得：或【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数
10、表示法及其几何意义，属于基础题18.已知向量,.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）-1；（2）-11.【解析】【分析】（1）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行的性质，求出的值；（2）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，求出的值【详解】解：（1）已知向量，若，则，解得：（2）若，则.解得：【点睛】本题考查两个向量坐标形式的运算，根据两个向量垂直、平行的坐标运算求参数值，考查计算能力19.在中，角所对的边分别为，.（1）求角A；（2）若，且的面积为2，求边的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理结合，可得，从而求出
11、角；（2）由三角形面积求出，代入余弦定理求得，从而得出【详解】解：（1），由正弦定理得：，又，又，又，；（2），又，又，【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，还涉及三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式，考查了计算能力20.已知 是夹角为的单位向量，且，（1）求；（2）求与的夹角【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题知，由向量的数量积公式进行运算即可，注意，在去括号的向量运算过程中可采用多项式的运算方法；（2）根据向量数量积公式，可先求出的值，又，从而可求出的值.试题解析：（1） = = （2） 21.在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离
12、为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.（1）问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.【答案】（1），船在船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船【解析】【分析】（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位；（2）在中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间【详解】解：（1）由题意可知，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得：，即，解得：，船在船的正西方向（2）由（1）知，设小时后缉私艇在处追上走私船，则，在中，由正弦定理得：，解得：，是等腰三角形，即缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题
