1、第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性课后篇巩固提升基础达标练1.(2019青海高三月考)函数f(x)=x2+xsin x的图象大致为()解析因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsinx=f(x),所以f(x)为偶函数,选项B错误,f(x)=x2+xsinx=x(x+sinx),令g(x)=x+sinx,则g(x)=1+cosx0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x0时,g(x)g(0)=0,故x0时,由f(x)=xg(x),得f(x)=g(x)+xg(x)0,即f(x)在(0,+)上单调递增,故只有选项A正确.答案A2.(2019东莞
2、实验中学高二月考)已知函数f(x)=x2-5x+2ln x,则函数f(x)的单调递减区间是()A.0,12和(1,+)B.(0,1)和(2,+)C.0,12和(2,+)D.12,2解析函数f(x)=x2-5x+2lnx,其定义域为x|x0,则f(x)=2x-5+21x=2x2-5x+2x.令f(x)=0,可得x1=12,x2=2.当x12,2时,f(x)0),由题意可得存在x0,使得f(x)=x2-bx+1x0,使得x2-bx+1x+1x,由对勾函数性质易得b2,故选B.答案B4.(2019福建厦门双十中学高二月考)设f(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f(x)的图象画在同一个
3、平面直角坐标系中,错误的是()解析对于A,若曲线C1为函数f(x)的图象,由于函数在(-,0)内是单调递减的,所以f(x)0,故f(x)图象在x轴的上方,因此A符合题意.同理,B,C中若C2为f(x)的图象,C1为f(x)的图象也符合题意;对于D,若曲线C1为函数f(x)的图象,则函数f(x)在(-,+)内,与曲线C2不相符;若曲线C2为函数f(x)的图象,则函数f(x)在(-,+)内是单调递减的,与曲线C1不相符.答案D5.(多选)下列函数中,在(0,+)内不单调的函数是()A.y=sin xB.y=xe2C.y=x3-xD.y=ln x-x解析显然y=sinx在(0,+)上既有增又有减,故
4、选项A符合题意;对于函数y=xe2,因e2为大于零的常数,不用求导就知y=xe2在(0,+)内为增函数,故选项B不符合题意;对于C,y=3x2-1=3x+33x-33,故函数在-,-33,33,+上为增函数,在-33,33上为减函数,故选项C符合题意;对于D,y=1x-1=1-xx(x0),故函数在(1,+)上为减函数,在(0,1)上为增函数.故选项D符合题意,故选ACD.答案ACD6.函数y=exx的单调递减区间是.解析函数定义域为(-,0)(0,+),y=xex-exx2=ex(x-1)x2,令y0得x0)是增函数,故需g(0)=b0,b-2,所以b(-2,0).答案(-2,0)8.若函数
5、g(x)=x3-ax2+1在区间1,2上单调递减,则实数a的取值范围是.解析因为g(x)=x3-ax2+1在区间1,2上单调递减,所以g(x)=3x2-2ax0在区间1,2上恒成立,即2a3x在区间1,2上恒成立.记f(x)=3x,x1,2,则f(x)max=f(2)=6,所以2af(x)max=6,所以a3,所以实数a的取值范围是3,+).答案3,+)9.(2020凤阳第二中学高二期末)已知函数f(x)=x2+ax-ln x,aR.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数f(x)在1,3上是减函数,求实数a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=x2+
6、x-lnx,所以f(x)=2x+1-1x,f(1)=2,又f(1)=2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为2x-y=0.(2)方法一:因为函数f(x)在1,3上是减函数,所以f(x)=2x+a-1x=2x2+ax-1x0在1,3上恒成立.令h(x)=2x2+ax-1,有h(1)0,h(3)0,得a-1,a-173,故a-173.实数a的取值范围为-,-173.方法二:因为函数f(x)在1,3上是减函数,所以f(x)=2x+a-1x=2x2+ax-1x0在1,3上恒成立,即2x2+ax-10在1,3上恒成立,则a1x-2x在1,3上恒成立,令(x)=1x-2x,显然(x)在1,
7、3上单调递减,则a(x)min=(3),得a-173,实数a的取值范围为-,-173.能力提升练1.(2020江西高二期末)f(x)是f(x)的导函数,若f(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是()解析由导函数的图象可知,当x0,所以函数f(x)为增函数;当0xx1时,f(x)x1时,f(x)0,所以函数f(x)为增函数.结合各选项可得C正确.故选C.答案C2.函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2 022,对任意的xR,都有f(x)2x成立,则不等式f(x)x2+2 018的解集为()A.(-2,+)B.(-2,2)C.(-,-2)D.R解析原不等式化为f(x)-x2-20180,令
8、g(x)=f(x)-x2-2018,则g(x)=f(x)-2x.已知对任意的xR,都有f(x)2x成立,g(x)0恒成立,g(x)在R上递减.g(-2)=f(-2)-(-2)2-2018=2022-4-2018=0,g(x)ln 2f(x)成立,则()A.4f(3)f(5)B.4f(3)0,故函数h(x)是R上的增函数,所以h(3)h(5),即f(3)23f(5)25,则4f(3)4恒成立,则a的取值范围为()A.4,+)B.(4,+)C.(-,4D.(-,4)解析令g(x)=f(x)-4x,因为f(x1)-f(x2)x1-x24,所以g(x1)-g(x2)x1-x20,即g(x)在(0,+)
9、上单调递增,故g(x)=x+ax-40在(0,+)上恒成立,即a4x-x2,令h(x)=4x-x2,x(0,+),则h(x)=4x-x2h(2)=4,h(x)max=4,即a的取值范围为4,+).故选A.答案A5.(多选)若函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,则满足f(2x2-1)+f(x)0的x的取值范围可能为()A.-1,12B.(-,-1)C.-12,1D.12,+解析函数f(x)=ex-e-x+sin2x,定义域为R,且满足f(-x)=e-x-ex+sin(-2x)=-(ex-e-x+sin2x)=-f(x),f(x)为R上的奇函数.又f(x)=ex+e-x+2cos2x2+2c
10、os2x0恒成立,f(x)为R上的单调增函数.又f(2x2-1)+f(x)0,得f(2x2-1)-f(x)=f(-x),2x2-1-x,即2x2+x-10,解得x12,所以x的取值范围是(-,-1)12,+.故选BD.答案BD6.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是.解析显然函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=4x-1x=4x2-1x.由f(x)0,得函数f(x)的单调递增区间为12,+;由f(x)0,得函数f(x)单调递减区间为0,12.因为函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-112k+1,解得-
11、12k32,又因为(k-1,k+1)为定义域内的一个子区间,所以k-10,即k1.综上可知,1k0内恒成立,因此可以得到a-1x+2x在x0时恒成立,a满足:a-1x+2xmax.因为x0,所以1x+2x21x2x=22,当且仅当x=22等号成立.所以有-1x+2x-22,因此实数a的取值范围是a-22.答案a-228.(2020内蒙古自治区包钢一中高三月考)已知函数f(x)=3xa-2x2+ln x,其中a为常数.(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间1,2上为单调递减函数,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=3x-2x2+lnx,其定义域为(0,+)
12、,则f(x)=1x-4x+3=-4x2+3x+1x=-(4x+1)(x-1)x(x0),令f(x)=0,解得x=1.当x(0,1)时,f(x)0,故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增;当x(1,+)时,f(x)0),因为函数f(x)在区间1,2上为单调递减函数,所以在区间1,2上f(x)0恒成立,即3a-4x+1x0在x1,2时恒成立,即3a4x-1x(1x2),即3a(4x-1x)min,其中1x2,令h(x)=4x-1x(1x2),易知函数h(x)在1,2上单调递增,故h(1)h(x)h(2).所以3ah(1),即3a41-11=3,解得a0或a1.故a的取值范围为(-,0)1,+).
13、素养培优练(2020新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末)已知a为常数,函数f(x)=x2+ax-ln x.(1)过坐标原点作曲线y=f(x)的切线,设切点为P(x0,y0),求x0;(2)令F(x)=f(x)ex,若函数F(x)在区间(0,1上是单调减函数,求a的取值范围.解(1)f(x)=2x+a-1x,所以切线的斜率为f(x0)=2x0+a-1x0,切线方程为y-y0=2x0+a-1x0(x-x0).将O(0,0)代入得x02+ax0-lnx0=2x02+ax0-1,即x02+lnx0-1=0,显然x0=1是方程的解,又y=x2+lnx-1在(0,+)上是增函数,方程x02+lnx0-1
14、=0只有唯一解,故x0=1;(2)F(x)=x2+ax-lnxex,F(x)=-x2+(2-a)x+a-1x+lnxex,设h(x)=-x2+(2-a)x+a-1x+lnx,h(x)=-2x+1x2+1x+2-a在(0,1上是减函数,h(x)h(1)=2-a,当2-a0时,即a2时,h(x)0,h(x)在(0,1是增函数,又h(1)=0,h(x)0在(0,1恒成立,即F(x)0在(0,1恒成立,F(x)在(0,1上是单调递减函数,所以a2,满足题意,当2-a2,x0,h(x)+,函数h(x)有唯一的零点,设为x0,则h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)单调递减,又h(1)=0,h(x0)0,又h(e-a)0,h(x)在(0,1)内存在唯一零点m,当x(0,m)时,h(x)0,F(x)0,F(x)0,从而F(x)在(0,m)单调递减,在(m,1)单调递增,不合题意,所以a的取值范围是a2.
