1、【新教材】5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学设计（人教 A 版）本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的“源头”。两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。课程目标1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用;2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题数学学科素养1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；2.逻辑推理：运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；
2、3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。.重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；难点：求值过程中角的范围分析及角的变换.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入我 们 在 初 中 时 就 知 道2cos452，3cos302，由 此 我 们 能 否 得 到cos15cos 4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本 2
3、15-218 页，思考并完成以下问题1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式是什么（共六组）？2.二倍角公式是什么？升幂公式是？降幂公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan()tan tan 1tan tan.2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2_sin2_2cos2_112sin2_；tan 2 2tan 1tan2.提醒：1必会结论(1)降幂公式：cos2 1cos 22，sin
4、2 1cos 22.(2)升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.(3)公式变形：tan tan tan()(1tan tan)(4)辅助角公式：asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 sin ba2b2，cos aa2b2.2常见的配角技巧2()()，()，2 2，2 2，2 2 2 等四、典例分析、举一反三题型一给角求值例 1利用和（差）角公式计算下列各式的值.(1)sin 72 cos42cos72 sin 42;(2)cos20 cos70sin 20 sin 70;1tan15(3).1tan15【答案】（1）12（2）0（3）3.1=sin 7242
5、=sin30=2=cos 2070=cos90=0tan 45tan15=tan 603.1tan 45 tan15（1）原式；（2）原式；（【解】3）原式析解题技巧：（利用公式求值问题）在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值.跟踪训练一1.cos 50=()A.cos 70cos 20-sin 70sin 20 B.cos 70sin 20-sin 70cos 20 C.cos 70cos 20+sin
6、 70sin 20 D.cos 70sin 20+sin 70cos 20【答案】C【解析】cos 50=cos(70-20)=cos 70cos 20+sin 70sin 20.2.cos512cos6+cos12sin6的值是()A.0 B.12C.22D.32【答案】C【解析】cos512cos6+cos12sin6=cos512cos6+sin512sin6=cos(512-6)=cos4=22.3.求值：(1)tan75；(2)3tan151 3tan15.【答案】（1）2 3；（2）1.【解析】(1)tan75tan(4530)tan45tan301tan45tan301 331
7、333 33 3126 362 3.(2)原式 tan60tan151tan60tan15tan(6015)tan451.题型二给值求值例 2 45sin,cos,cos().5213 已知是第三象限角，求的值【答案】33.65223cos=-1 sin.512sin-1 cos,133512433cos()=coscossinsin=.51313565 是第二象限角，是第三【解析，】象限角则例 3 3sin,sin(),cos(),tan().5444 已知是第四象限角，求的值【答案】见解析.43cos=,tan.5424327 2sin()=sincoscossin=44425521024
8、327 2cos()=coscossinsin=44425521037tantan1444tan()=7.3141tantan1444 是第四象限【解析角；】，；解题技巧：(给值求值的解题策略)(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:=(-)+;=+2+-2;2=(+)+(-);2=(+)-(-).跟踪训练二1.(1)已知 为锐角,sin=35,是第四象限角,cos=45,则 sin(+)=.(2)若 sin(-)cos+
9、cos(-)sin=35,且(2,),则 tan(-34)=.【答案】（1）0；（2）17【解析】(1)为锐角,sin=35,cos=45.是第四象限角,cos=45,sin=-35.sin(+)=sin cos+cos sin=35 45+45 (-35)=0.(2)由已知得 sin(-)+=35,即 sin=35,又因为(2,),所以 cos=-45,于是 tan=-34,故 tan(-34)=tan-tan 341+tantan 34=-34-(-1)1+(-34)(-1)=17.题型三给值求角例 4 已知 tan17，sin 1010，且，为锐角，求 2 的值【答案】4.【解析】tan
10、171 且 为锐角，04.又sin 1010 5010 22 且 为锐角04，0234.由 sin 1010，为锐角，得 cos3 1010，tan13.tan()tantan1tantan17131171312.tan(2)tan1t1213112131.由可得 24.解题技巧：(解决三角函数给值求角问题的方法步骤)(1)给值求角问题的步骤求所求角的某个三角函数值确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角(2)选取函数的原则已知正切函数值，选正切函数 已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是0，2，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，)，
11、选余弦较好；若角的范围是2，2，选正弦较好跟踪训练三1.若 tan=12,tan=13,且(,32),(0,2),则+的大小等于()A.4B.54C.74D.94【答案】B.【解析】由已知得 tan(+)=tan+tan1-tantan=12+131-1213=1.又因为(,32),(0,2),所以+(,2),于是+=54.题型四二倍角公式应用例 55sin2,sin4cos4tan4.13 42已知求，的值【答案】见解析.221252,cos2=,tan 2.4221312512120sin 42sin 2 cos22;131316912119cos42cos 2121;13169sin 4
12、120tan 4.cos4119 【，解析】解题技巧：(二倍角公式应用)应用二倍角公式化简(求值)的策略:化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异跟踪训练四1.(1)已知 2，sin 55，则 sin2_，cos2_，tan2_；(2)已知 sin4x 513，0 x4，求 cos2x 的值【答案】（1）45，35，43；（2）120169.【解析】(1)因为 2，sin 55，所以 cos2 55，所以 sin22sincos2 55 2 5545，cos212sin21255235，tan2sin2cos243，故填45，35，43.(2)因为 x0，4，
13、所以4x0，4，又因为 sin4x 513，所以 cos4x 1213，所以 cos2xsin22x 2sin4x cos4x 2 5131213120169.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、六组公式 例 1 例 2 二、二倍角公式 例 3 例 4 七、作业课本 228 页习题 5.5.本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、余弦正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。
