1、课后素养落实(六)直线与平面的夹角(建议用时：40分钟)一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为()ABCDC如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则平面A1BC1的一个法向量为n(1，1，1)，(1，0，0)，设直线AD与平面A1BC1所成角为，sin |cosn，|2OA，OB，OC是由点O出发的三条射线，两两夹角为60，则OC与平面OAB所成角的余弦值为()ABCDB设OC与平面OAB所成的角为，则cos 60cos cos 30，cos 3如图，在长方体ABCDA1B1C
2、1D1中，ABBC2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为()A30B45C60D120A在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，该长方体的体积为8，22AA18，解得AA12，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，(2，2，2)，平面BB1C1C的一个法向量n(0，1，0)，设直线AC1与平面BB1C1C所成的角为，sin ，30，直线AC1与平面BB1C1C所成的角为30故选A4如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E为线段AB上一点，且AEAB，则DC1与平
3、面D1EC所成角的正弦值为()ABCDA以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则C(0，3，0)，E(1，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，3，1)，D(0，0，0)，所以(0，3，1)，(1，1，1)，(0，3，1)设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则即取y1，可得平面D1EC的一个法向量为n(2，1，3)，所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为故选A5如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为()ABCDA以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴
4、，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(，1，0)，A1(，1，3)，B1(0，2，3)，C1(0，0，3)，(0，0，3)，(，1，3)，(，1，3)，设平面AB1C1的法向量n(x，y，z)，则取x，得n(，0，1)，设AA1与平面AB1C1所成的角为，则sin ，AA1与平面AB1C1所成的角为故选A二、填空题6等腰RtABC的斜边AB在平面内，若AC与成30角，则斜边上的中线CM与平面所成的角为_45作CO，O为垂足，连接AO，MO，则CAO30，CMO为CM与所成的角在RtAOC中，设CO1，则AC2在等腰RtABC中，由AC2得CM在RtCMO中，sinCMOCMO4
5、57如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面A1B1CD平面ABCD，且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形，则直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是_以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB1，则B(1，1，0)，D1(1，0，1)，(2，1，1)，平面A1B1CD的法向量n(1，0，0)，设直线BD1与平面A1B1CD所成角为，则sin ，cos ，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是tan 8已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于_如
6、图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA，OA1分别为x轴、z轴，过O作OA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，如图设ABC边长为1，则A，B1，所以平面ABC的法向量n(0，0，1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为sin |cos，n|三、解答题9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E，F分别是PC，AD中点(1)求证：DE平面PFB；(2)求PB与平面PCD所成角的正切值解(1)证明：取PB的中点M，连接EM，FME，M分别是PC，PB的中点，EMBC，EMBC，四边形ABCD是正方形，F是AD的中点，DFBC，DFBC，四
7、边形DEMF是平行四边形，DEFM，又DE平面PFB，FM平面PFB，DE平面PFB(2)PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC，四边形ABCD是正方形，BCCD，又PD平面PCD，CD平面PCD，PDCDD，BC平面PCDBPC为直线PB与平面PCD所成的角，PDDCBC，PCCDBC，tanBPC10在如图所示的多面体ABCDE中，ABDE，ABAD，ACD是正三角形，ADDE2AB2，EC2，F是CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值解(1)证明：以A为原点，在平面ACD中，过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系
8、，则A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，F，B(0，0，1)，E(0，2，2)，(，1，1)，(0，2，1)，设平面BCE的法向量n(x，y，z)，则取y1，得n(，1，2)，n0，AF平面BCE，AF平面BCE(2)(0，2，0)，平面BCE的法向量n(，1，2)，设直线AD与平面BCE所成角为，则sin 直线AD与平面BCE所成角的正弦值为1(多选题)已知四棱锥PABCD的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为的球面上，则PA与底面ABCD所成角的正弦值为()ABCDBC由已知可得，四棱锥PABCD为正四棱锥，正四棱锥外接球的表面积为，正四棱锥
9、外接球的半径R如图，连接AC，BD交于E，设球心为O，连接PO，BO，则E在PO(或其延长线)上，POBOR，BEBD2，又R，OEPEROE或PEROE4当PE时，PA，PA与底面ABCD所成角的正弦值为；当PE4时，PA3，PA与底面ABCD所成角的正弦值为PA与底面ABCD所成角的正弦值为或2在圆柱OO1中，O是上底面圆心，AB是下底面圆的直径，点C在下底面圆周上，若OAB是正三角形，O1CAB，则OC与平面OAB所成角为()A150B30C45D60B设AB2a，则OA2a，O1AO1BO1Ca，OO1a，OC2a，CO1AB，CO1OO1，ABOO1O1，CO1平面AOB，COO1是
10、OC与平面OAB所成角，sinCOO1，COO130，OC与平面OAB所成角为303在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则直线CD1与C1F所成角的余弦值为_，直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为_以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，则C(0，2，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，(0，2，2)，(1，1，0)，(0，1，2)，(1，0，2)，cos，设平面A1C1FE的法向量n(x，y，z)，则取z1，得n(2，2，1)，设直线CD1与平面A1
11、C1FE所成角为，则sin 直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为4在空间四边形PABC中，PA平面ABC，ACBC，ACBC2，PA4，则PC和平面PAB所成角的正切值为_取AB的中点为O，连接CO，PO，PA平面ABC，PAOC，ACBC，O是AB的中点，ABOC，又PAABA，CO平面PAB，则CPO为PC和平面PAB所成的角ACBC2，ACBC，AB2，COAB，PO3，tanCPO，PC和平面PAB所成角的正切值为已知几何体EFGABCD，如图所示，其中四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，且边长为1，点M在棱DG上(1)求证：BMEF(2)是否存在点M，使
12、得直线MB与平面BEF所成的角为45？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，GDDA，GDDC又DADCD，GD平面ABCD以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)点M在棱DG上，故可设M(0，0，t)(0t1)(1，1，t)，(1，1，0)，0，BMEF(2)假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，(0，1，1)，(1，0，1)，令z1，得xy1，n(1，1，1)为平面BEF的一个法向量，cosn，直线MB与平面BEF所成的角为45，sin 45|cosn，|，解得t43又0t1，t34，存在点M(0，0，34)当点M在DG上，且DM34时，直线MB与平面BEF所成的角为45
