1、集宁一中西校区2019-2020学年第二学期期中考试高二年级理科数学试题第卷（选择题，共60分)一、单选题1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性对集合化简得x|0x1，然后求出AB即可【详解】x|0x2，AB1，故选C【点睛】考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算2.已知复数z满足(12i)z34i，则|z|（ ）A. B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出.【详解】(12i)z34i，|12i|z|34i|，则|z|.故选：C.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，以及复数模的求法，是
2、基础题.3.下列说法正确的有（ ）在回归分析中，可以借助散点图判断两个变量是否呈线性相关关系在回归分析中，可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据，残差平方和越小，模型的拟合效果越好在回归分析模型中，相关系数的绝对值越大，说明模型的拟合效果越好在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据散点图的应用、利用“残差”的意义、相关系数的作用、回归方程的意义，即可得出正确的判断.【详解】对于，可以借助散点图直观判断两个变量是否呈线性相关关系，所以正确；对于，可用残差的平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，
3、模型拟合效果越好，所以正确；对于，相关系数的绝对值越大，只能说明两个变量具有较强的相关性，不能作为分析模型的拟合效果好坏的依据，应该是相关指数越大，模型的拟合效果越好，所以错误；对于，在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，所以正确故选：C.【点睛】本题考查回归分析以及线性回归直线方程，要注意区分“相关系数”与“相关指数”，属于基础题.4.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）附：若，则，A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185
4、D. 0.9544【答案】C【解析】【分析】根据服从的正态分布可得，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，则，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.5.在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数为()A. 0.95B. 0.81C. 0.74D. 0.36【答案】A【解析】【分析】比较相关指数的大小，越接近于1，模型的拟合效果越好【详解】在两个变量与的回归模型中，它们的相
5、关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，在题目所给的四个数据中0.95是最大的相关指数，所以选A【点睛】本题考查相关指数，在回归模型中，相关指数 越接近于1，模型的拟合效果越好，属于简单题6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有4个白球，2个红球从袋中不放回地逐个取球，取完红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据排列组合知识，结合古典概型的概率公式，即可求解.【详解】最后一次取到的一定是红球，前两次是一红球一白球，故选：A.【点睛】本题考查随机变量的概率，应用排列组合求古典概型的概率，属于基础题.7.函数的图像大致为（ ）
6、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为，所以排除A,C,当函数在轴右侧靠近原点的一个较小区间时，函数单调递增，故选D.考点：函数图象与函数性质8.在极坐标系中，若点，则的面积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】的面积为 ,选C.9.过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，则的值为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故
7、（异号）.故.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对函数求导,利用导数研究出函数的单调性与极值,再利用零点个数确定极值正负,据此列式求解即可.【详解】,则,令或,令,因此函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以函数在有极大值,在时有极小值,因为函数有三个不同的零点,所以,故选:B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,涉及函数的单调性与极值,难度不大.11.某
8、珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】【详解】试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲考点：推理与证明12.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可【详解】的定义域是（0，+），若函数有
9、两个不同的极值点，则在（0，+）由2个不同的实数根，故，解得：，故选D【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题第卷（非选择题)三、填空题（满分20分）13.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是 【答案】（，1）（0,1）【解析】【详解】解：设，则的导数为：，当时总有成立，即当时，恒小于0，当时，函数为减函数，又，函数为定义域上的偶函数又，函数的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式或，或f（x）0成立x的取值范围是（-，-1）（0，1）考点：函数的单调性与导数的关系14.已知的展开式中的系数是35，则_._.【答案】 (1). 1 (2
10、). 1【解析】【分析】利用二项展开式的通项求参数,令,求得,令求得,然后可求得【详解】由的展开式的通项令得,所以由解得,所以得令得令得,所以故答案为:1;1.【点睛】本题考查了二项展定理的应用,赋值法求参数的应用,掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于一般难度的题.15.椭圆经过变换后所得曲线的焦点坐标为_.【答案】【解析】【分析】代入中即可得到变换后的曲线方程，进一步可得焦点坐标.【详解】由，代入得.变换后所得曲线的焦点坐标为.故答案为：【点睛】本题考查曲线的伸缩变换，要注意哪个是变换前的坐标，哪个是变换后的坐标，“谁代谁”，是一道容易题.16.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为
11、0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置_门高炮？（用数字作答，已知，）【答案】【解析】【分析】设需要至少布置门高炮，则，由此能求出结果【详解】解：设需要至少布置门高炮，某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，解得，需要至少布置11门高炮故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题三、解答题（满分70分）17.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各
12、随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【答案】（1）平均数为，众数为33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入元，乙公
13、司被抽取员工该月收入元.【解析】【分析】（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数.（2）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.（3）利用（2）结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【详解】（1）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：，众数为33.（2）设a为乙公司员工B投递件数，则当时，元，当时，元，X的可能取值为136，147，154，189，203，X的分布列为：X136147154189203P（元）.（3）根据图中数据，由（2）可估算：甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被
14、抽取员工该月收入元.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18.为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高80学习积极性不高60合计200已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文
15、体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）表格见解析；（2）有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）计算学习积极性不高的有人，完善列联表得到答案.（2），对比临界值表得到答案.（3）有2人学习积极性高，设为、，有3人学习积极性不高，设为、，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】（1）根据题意，全部200
16、人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为，则学习积极性不高的有人，据此可得：列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高8040120学习积极性不高206080合计100100200（2）根据题意，由列联表可得：；故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关；（3）根据题意，从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，有2人学习积极性高，设为、，有3人学习积极性不高，设为、，从中选取2人，有、，共10种情况，其中至少有1人学习积极性不高的有、，共9种情况，至少有1人学习积极性不高的概率.【点睛】本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能
17、力和应用能力.19.已知函数.（1）若在上存在极大值，求的取值范围；（2）若轴是曲线的一条切线，证明：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得的导函数，对分成三种情况，结合在上存在极大值，求得的取值范围.（2）首先根据轴是曲线的一条切线求得的值，构造函数，利用导数求得在区间上的最小值为，由此证得，从而证得不等式成立.【详解】（1）解：，令，得，.当时，单调递增，无极值，不合题意；当时，在处取得极小值，在处取得极大值，则，又，所以；当时，在处取得极大值，在处取得极小值，则，又，所以.综上，的取值范围为.（2）证明：由题意得，或，即（不成立），或，解得.设函数，当或时，；
18、当时，.所以在处取得极小值，且极小值为.又，所以当时，故当时，.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.（2）时， ，令，求函数的最小值为，得到答案.【详解】（1）函数的定义域为，若，则，所以在上单调递增；若，令，则，当）时，单调递减；当时，单调递增；综上所述，函数上单调递增，时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，即
19、，令，则，令，则，当时，单调递增，所以当时，单调递减，当时，单调递增，故，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.21.在直角坐标系中，曲线的参数方程(为参数)，直线的参数方程(为参数).（1）求曲线在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数后化简整理即可得到曲线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，可得到关于的一元二次方程，由韦达定理并结合参数的几何意义可得
20、，从而求得，最后写出直线的倾斜角即可.【详解】（1）由曲线的参数方程 (为参数)， 可得：，由，得：，曲线的参数方程化为普通方程为：；（2）中点的极坐标化成直角坐标为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，得：，化简整理得：，即，即，又，直线的倾斜角为.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线参数方程中的几何意义的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.22.在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】参数方程化为普通方程可得圆的普通方程为.圆的极坐标方程得，联立极坐标方程可得，结合极坐标的几何意义可得线段的长为1.【详解】圆的参数方程为消去参数可得圆的普通方程为.化圆的普通方程为极坐标方程得，设,则由解得，设,则由解得，.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的应用，极坐标的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
