1、东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）2013.3一、选择题：本大题共8小题每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【KS5U解析】，,所以,选B.2已知复数(),则“”是“为纯虚数”的（ ）A充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件【答案】A【KS5U解析】若复数为纯虚数，则有，解得。所以是为纯虚数的充分非必要条件，选A.3在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程（）A B. C. D.【答案】D【KS5U解析】由于点的直角坐标坐标为 .故过此点垂直于x轴的直线方
2、程为，化为极坐标方程为,所以选D.4如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）A.96 B. 120 C.144 D. 300【答案】B【KS5U解析】经过第一次循环得到t=2，k=2；满足判断框中的条件；经过第二次循环得到t=2+22=6，k=2+1=3；满足判断框中的条件；经过第三次循环得到t=6+63=24，k=3+1=4；满足判断框中的条件；经过第四次循环得到t=24+244=120，k=4+1=5；不满足判断框中的条件；执行“输出t“即输出120选B5已知，满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（ ）ABC D【答案】A【KS5U解析】因为既存在最大值，又存在最小值，所以不等式表
3、示的平面区域为一个有界区域，可得。作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，1），B（m，m），C。由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，目标函数z达到最大值；当经过点B时，目标函数z达到最小值。所以z最大值=3；z最小值=3m。因为z的最大值是最小值的4倍，所以，解之得。选：A6已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）【答案】 C【KS5U解析】由题意可知当四棱锥的直观图为，它的三视图是，选C.7已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】D【KS5U解析】因为是递减数列
4、，所以当时，有。当时，即。且，即，解得。综上，选D.8已知函数则下列结论正确的是（ ）A在上恰有一个零点 B. 在上恰有两个零点C. 在上恰有一个零点 D. 在上恰有两个零点【答案】C【KS5U解析】函数的导数为。当时，此时函数递增。当时，此时函数递增。因为，所以函数在上没有零点。又，所以函数在时有且只有一个零点，所以选C.二.填空题（每题5分,共6小题）9已知随机变量的分布列如下，则的值等于【答案】【KS5U解析】因为，解得。所以.10若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 .【答案】【KS5U解析】双曲线的渐近线方程为，要使双曲线与直线无交点，则，即，所以，即，所以，即离心率的取值范围
5、是，即。11.如图，AB是圆的切线，切点为，点在圆内，与圆相交于，若，则圆的半径为 . 【答案】 【KS5U解析】连结BC并延长，交圆于F，因为BA是圆O的切线，切点为A，由切割线定理可知：，所以BF=12，CF=9，过O作OEBF，所以，所以.所以半径.12在中，为中点，若，则的最小值是 .【答案】 【KS5U解析】因为，所以,所以，所以的最小值为。13有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有_种（用数字作答）【答案】【KS5U解析】因为每项活动最多安排4人，所以可以有三种安排方法，即（4，2），（3，3），（2，4）。
6、当安排4，2时，需要选出4个人参加共有,当安排3，3，时，共有种结果，当安排2，4时，共有种结果，所以共有15+20+15=50种结果。14已知直线，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”下面给出的三条曲线方程：；其中直线的“绝对曲线”有（填写全部正确选项的序号）【答案】【KS5U解析】由，可知直线l过点A对于，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A。所以直线l不会与曲线有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；对于，是以A为圆心，半径为1的圆，所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在，使得圆与直
7、线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于所以圆是直线l的“绝对曲线”；对于，将代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1a）x+3（1a）24=0，。若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，则。化简得，令。，。所以函数在上存在零点，即方程有根而直线过椭圆上的定点，当时满足直线与椭圆相交故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.(本小题满分13分) 已知函数 其中 ,.（1）求函数的值域；（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.16(本小题满分13分) 某地
8、区举办了一次数学知识应用竞赛有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）(1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.05006065707580859095100分数17. (本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，分别为的中点（1）求证：；（2）求证：平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，
9、求出的长；若不存在，请说明理由18. (本小题满分13分) 设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区 间上的最大值.19(本小题满分14分) 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值20(本小题满分14分) 已知数集具有性质：对，与两数中至少有一个属于(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；(2) 求证：；(3) 已知数集具有性质证明：数列是等差数列东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）参考答案2013.3一
10、、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)题号12345678答案BADBACDC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)题号91011121314答案三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数其中 ,.（1）求函数的值域；（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.解：（1） = 5分 所以函数的值域为 7分（2）由 得 9分 所以由 11分得 所以函数的单调增区间为. 13分16某地区举办了一次数学知识应用竞赛有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制
11、作了频率分布直方图（如图所示）(1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.05006065707580859095100分数解：(1) 77.5； 3分 (2) 所求为：直线与直线之间的直方图的面积， 因此， 7分 答：这40名学生的成绩在之间的有20人（答19人也算对） 8分(3) 设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件， 因为 10分 所以 12分 答：这5人中恰有2人的成绩在之间的概率
12、为03087 13分17. 在四棱锥中，底面为矩形，分别为的中点（1）求证：；（2）求证：平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面平面， 若存在，求出的长；若不存在，请说明理由（1）证明：底面为矩形 4分（2）证明：取，连接 , 是平行四边形， /，/ 8分(3) ，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，假设在线段上存在一点，使得平面平面，设， 设平面的法向量为 ， ， 令 设平面的法向量为 令 ，解得 线段上存在点，且当时，使得平面平面. 13分18.设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解答 （1） 2分在上
13、存在单调递增区间存在的子区间，使得时在上单调递减，即 解得当时，在上存在单调递增区间 6分（2）令 ；在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增，在上单调递减 8分所以的最大值为， 10分解得 13分19已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值解析：（1）设动点的坐标为，由题意得 2分化简得 当时；当时所以动点的轨迹的方程为和（） 5分 （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为 由 设则 ， 7分因为，所以的斜率为设，则同理可得 ， 8分 11分 13分当且仅当即时，取最小值16 14分20已知数集具有性质：对，与两数中至少有一个属于(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；(2) 求证：；(3) 已知数集具有性质证明：数列是等差数列解：(1) 由于和都不属于集合，所以该集合不具有性质；由于、都属于集合，所以该数集具有性质 4分(2) 具有性质，所以与中至少有一个属于由，有，故，故，故由具有性质知，又，从而故 8分(3) 由(2)可知， 由知，均不属于 由具有性质，均属于 ， 即 由可知 故构成等差数列 13分
