1、3.5简单的线性规划问题习题课-学案一、学习目标1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性函数的最值二、自主学习知识点1：非线性约束条件思考类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(xa)2(yb)2r2的可行域答案梳理非线性约束条件的概念约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件知识点2：非线性目标函数思考在问题“若x、y满足求z的最大值”中，你能仿照目标函数zaxby的几何意义来解释z的几何意义吗？答案z的几何意义是点(x，y)与点(1,1)连线的斜率梳理下表是一些常见的非线性目标函数.目标函数目标函数变形几何意义最优解求法zaxby (a
2、b0)yx在y轴上的截距是平移直线yx，使在y轴上的截距最大(或最小)(xa)2(yb)2令m(xa)2(yb)2，则目标函数为()2点(x，y)与点(a，b)距离的平方改变圆(xa)2(yb)2r2的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的交点点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率绕定点(a，b)旋转直线，寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线斜率|axbyc|(a2b20)点(x，y)到直线axbyc0距离的倍平移直线axbyc0，寻求与可行域最先(或最后)相交时的交点三、合作探究 探究一生活实际中的线性规划问题例1某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加
3、工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)解设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元，则z2xy(百元) 作出可行域如图阴影部分中的整点：由图可得O(0,0)，A(0,3)，B(2,3)，C，D(4,0)平移直线y2xz，又x，yN，所以当直线过点(3,2)或(
4、4,0)时，z有最大值所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大反思与感悟在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析探究二非线性目标函数的最值问题命题角度1斜率型目标函数例2已知实数x，y满足约束条件试求z的最大值和最小值解作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由于z，故z的几何意义是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率，因此的最值是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率的最值，由图可知
5、，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC.z的最大值为3，最小值为.引申探究1把目标函数改为z，求z的取值范围解z，其中k的几何意义为点(x，y)与点N连线的斜率由图易知，kNCkkNB，即k，k7，z的取值范围是，72把目标函数改为z，求z的取值范围解z2.设k，仿例2解得k1.z，3命题角度2两点间距离型目标函数例3已知x，y满足约束条件试求zx2y2的最大值和最小值解zx2y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例2图)知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小故zmax|OA|213，zmin22.反思与
6、感悟(1)对于形如的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题(2)当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用四、学以致用训练1预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？解设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数zxy，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由解得所以A点的坐标为.由解得所以B点坐标为(25，)所以满足条件的可行域是以A，B，O为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，由图形可知，目标函数zxy
7、在可行域内经过点B时取得最大值，但注意到xN，yN，故取故买桌子25张，椅子37把是最好的选择训练2变量x、y满足约束条件(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围解由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示由解得A；由解得C(1,1)；由解得B(5,2)(1)因为z，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|，即2z29.(3)zx2y26x4y13(x3)2
8、(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到点(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.所以16z64.五、自主小测1某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A5种 B6种 C7种 D8种2已知点P(x，y)的坐标满足约束条件则x2y2的最大值为()A. B8 C16 D103若x、y满足约束条件则z的最大值是_4已知实数x，y满足约束条件则zx2y2的最小值为_ 参考答案1.答案C解析设购买软件x片，磁盘y盒则画出线性约束条件表
9、示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点即有7种选购方式2.答案D解析画出不等式组对应的可行域如图所示，易得A(1,1)，|OA|，B(2,2)，|OB|2，C(1,3)，|OC|.(x2y2)max|OC|2()210.3.答案3解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)z可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率由图可知z的最大值为kAB3.4.答案解析实数x，y满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin2.
