1、椭圆命题点1椭圆的定义与方程 1椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题2求解椭圆的标准方程要注意焦点的位置高考题型全通关1(2020三明检测)已知P是椭圆1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1PF260，则F1PF2面积为()A3 B2CDA法一：由椭圆的标准方程可得a5，b3，c4.设|PF1|t1，|PF2|t2，由椭圆的定义可得t1t210.在F1PF2中，F1PF260，根据余弦定理可得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos
2、 60|F1F2|2|2c|264，整理可得ttt1t264.把两边平方得tt2t1t2100，由得t1t212，St1t2sinF1PF23.故选A法二：由于椭圆焦点三角形的面积公式为Sb2tan，故所求面积为9tan 303.故选A2(2020绵阳模拟)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(2，0)，过点F1作倾斜角为30的直线与圆x2y2b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为()A1 B1C1 D1A由左焦点为F1(2，0)，可得a2b24，过点F1作倾斜角为30的直线的方程为y(x2)，圆心(0，0)到直线的距离d1.由直线与圆x2y2b2相交的弦长为b，可得2b，解得b2，a2，则椭圆
3、方程为1.故选A3多选(2020烟台模拟)已知椭圆1上有A，B，C三点，其中B(1，2)，C(1，2)，tanBAC，则下列说法正确的是()A直线BC的方程为2xy0BkAC或4C点A的坐标为D点A到直线BC的距离为AD设直线AB，AC的倾斜角分别为1，2，不妨记12，由tanBAC0，知BAC，则数形结合易知当12BAC时，才能满足题意，故tan(12)，即，又kABkAC2，所以kABkAC，结合kABkAC2，解得或而当时，数形结合易知BAC12，且BAC，故舍去当时，直线AC、直线AB的方程分别为y24(x1)，y2(x1)，可得A.易得直线BC的方程为2xy0，故点A到直线BC的距离
4、为.由椭圆的对称性知：当12时，同理可得点A到直线BC的距离为.4(2020四省八校联盟高三联考)设点P是椭圆C：1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2，1)，则|PA|PF|的取值范围是_4，4如图，设F是椭圆的左焦点，连接AF，PF，则F(2，0)，|AF|.|PF|PF|2a4，|PA|PF|PA|2a|PF|2a|AF|4，|PA|PF|PA|2a|PF|2a(|PF|PA|)2a|AF|4.|PA|PF|的取值范围是4，45一题两空(2020菏泽模拟)已知椭圆1(ab0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且F1AB的面积为，则椭圆的方程为_；若点P
5、为椭圆上的任意一点，则的取值范围是_y211，4由已知得2b2，故b1，a2c2b21.F1AB的面积为，(ac)b，ac2，a2，c，则椭圆的方程为y21.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a4，又2|PF1|2，1|PF1|24|PF1|4，14.即的取值范围为1，4命题点2椭圆的几何性质1利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系2求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般
6、是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围高考题型全通关1(2020西安模拟)已知F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1PQ，且|PF1|PQ|，则椭圆的离心率为()A2BC1 DD设|PF1|PQ|m(m0)，则|PF2|2am，|QF2|2m2a，|QF1|4a2m.由题意知PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1|PF1|，故m4a2a.因为|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，所以(4a2a)22a(4a2a)24c2，整理得43624，即，故选D2(2020四川五校联考)设椭圆
7、C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，则直线PF1的斜率为()A BCDB法一：由题意可知，|F1F2|2c，又由e，得ca，所以|F1F2|a，因为点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点，故PF1PF2，且|PF1|PF2|，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又|PF1|PF2|2a，所以|PF1|PF2|a2，所以|PF1|a，|PF2|a，所以直线PF1的斜率kPF1tanPF1F2，故选B法二：因为e，故可设a3，c，则b2，SPF1F2b2tanb2tan 45|PF1|PF2|4，因为P在第一象
8、限，所以|PF1|PF2|，又|PF1|PF2|2a6，故|PF1|4，|PF2|2，所以直线PF1的斜率kPF1.故选B3(2020唐山模拟)直线xy0经过椭圆1(ab0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若2，则该椭圆的离心率是()A1 B C22 D1A法一：记椭圆的右焦点为F，由题意得F(，0)，C(0，1)，则F(，0)由2，可得A，则|AF|3.连接AF(图略)，则|AF|，所以2a|AF|AF|3，所以a，又c，所以该椭圆的离心率e1，故选A法二：记椭圆的右焦点为F，由题意得F(，0)，C(0，1)，直线xy0的斜率k，则|FF|2，直线xy0的倾斜角为30，即AFO
9、30(O为坐标原点)在直角三角形OCF中，|OC|1，|OF|，所以|FC|2，又2，所以|CA|1，所以|FA|3.连接AF(图略)，在三角形AFF中，由余弦定理可得|AF|，所以2a|AF|AF|3，所以a，又c，所以该椭圆的离心率e1.4(2020烟台模拟)已知椭圆C：1(m4)的右焦点为F，点A(2，2)为椭圆C内一点若椭圆C上存在一点P，使得|PA|PF|8，则实数m的取值范围是()A(62，25B9，25C(62，20D3，5A由题知椭圆C的右焦点为F(2，0)，设左焦点为F(2，0)，由椭圆的定义可得2|PF|PF|，即|PF|2|PF|，可得|PA|PF|82.由|PA|PF|
10、AF|2，可得2822，解得35，所以9m25.又因为点A在椭圆C内，所以1，所以8m16m(m4)，解得m62.综上，实数m的取值范围是(62，25故选A5多选(2020日照模拟)已知椭圆：1(ab0)，则下列结论正确的是()A若a2b，则的离心率为B若的离心率为，则C若F1，F2分别为的两个焦点，直线l过点F1且与交于点A，B，则ABF2的周长为4aD若A1，A2分别为的左、右顶点，P为上异于点A1，A2的任意一点，则PA1，PA2的斜率之积为BCD若a2b，则cb，e，选项A不正确；若e，则a2c，bc，选项B正确；根据椭圆的定义易知选项C正确；设P(x0，y0)，则1，易知A1(a，0
11、)，A2(a，0)，所以PA1，PA2的斜率之积为，选项D正确6多选(2020济宁模拟)已知P是椭圆E：1(m0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A椭圆E的方程为y21B椭圆E的离心率为C曲线ylog3x经过E的一个焦点D直线2xy20与E有两个公共点ACD设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0x1，y0y1，则N(x1，y1)，1，1，所以ymx，ym，k1k2.于是|k1|k2|222，依题意，得1，解得m1，故E的方程为y21，A正确离心率为，B错误焦点为(，0
12、)，曲线ylog3x经过焦点(，0)，C正确又直线2xy20过点(1，0)，且点(1，0)在E内，故直线2xy20与E有两个公共点，D正确故选ACD7(2020洛阳尖子生第一次联考)已知椭圆C1：1(a1b10)与双曲线C2：1(a20，b20)有相同的焦点F1，F2，点P是曲线C1与C2的一个公共点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，若PF1PF2，则4ee的最小值为_设点P在双曲线的右支上由椭圆及双曲线的定义可得，解得|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.设|F1F2|2c，因为PF1PF2，所以(a1a2)2(a1a2)24c2，整理得aa2c2，两边同时除以c2，得2，所以4ee(
13、4ee)(522)，当且仅当时取“”，又2，所以e1，e2时取“”，故4ee的最小值为.命题点3直线与椭圆的综合问题1解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单2设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率)3利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式高考题型全通关1设椭圆C：y21的左焦点为F，直线l：ykx(k0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|BF|的值是()A2 B2C4D4C设椭圆的右焦点为F2，连
14、接AF2，BF2(图略)因为|OA|OB|，|OF|OF2|，所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|AF2|，所以|AF|BF|AF|AF2|2a4.故选C2已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点若|AF2|BF2|的最大值为5，则b的值为()A1 B C D2C由0b2可知，椭圆的焦点在x轴上过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，|BF2|AF2|BF1|AF1|2a2a4a8，则|BF2|AF2|8|AB|.当AB垂直于x轴时，|AB|最小，|BF2|AF2|最大，此时|AB|b2，则58b2，解得b.故选C3(2020贵阳模拟)已知F1
15、，F2是椭圆的1的左、右焦点，点A的坐标为，则F1AF2的平分线所在直线的斜率为()A2 B1 C DA如图所示，A，F1，F2是椭圆1的左、右焦点，F1(1，0)，AF1x轴，|AF1|，|AF2|，点F2(1，0)关于F1AF2的平分线对称的点F在线段AF1的延长线上又|AF|AF2|，|FF1|1，F(1，1)，线段FF2的中点坐标为，则F1AF2的平分线的斜率为2，故选A4(2020南宁模拟)已知椭圆C：1(ab0)上存在A，B两点恰好关于直线l：xy10对称，且直线AB与直线l的交点的横坐标为2，则椭圆C的离心率为()A B C DC由题意可得直线AB与直线l的交点为P(2，1)，k
16、AB1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，y1y22.A，B是椭圆1上的点，1，1，得0，kAB1，a22b2.椭圆C的离心率为.故选C5已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，过椭圆的中心O作直线l，交椭圆于A，B两点，若存在ABF，满足周长为4c，则该椭圆离心率的取值范围是()A B C DC法一：如图，设椭圆的右焦点为F，连接AF，BF，则|OF|OF|，易知|AO|BO|，则四边形AFBF是平行四边形，|AF|BF|，ABF的周长为|AF|AF|2|AO|，因为|AF|AF|2a，所以ABF的周长为2a2|AO|.存在ABF，满足周长为4c，就是椭圆上存在一点A，满足|AO
17、|2ca.因为椭圆上的点到点O的最短距离是b，到点O的最大距离是a，所以b2caa.由2caa，得e1，故e1.由2cab，得4c24aca2a2c2，得e.综上，e的取值范围是.法二：设椭圆的右焦点为F，连接AF，BF，则|OF|OF|，易知|AO|BO|，则四边形AFBF是平行四边形，|AF|BF|.设A(x0，y0)，则1，yb2，所以ABF的周长为|AF|BF|AB|AF|AF|2|AO|2a22a22a22a2b.由题意知2a2b4c4a，由4c4a，得e1；由2a2b4c，得a2c24c24aca2，得e.综上，e的取值范围是.法三：易知点F(c，0)，设A(x0，y0)，则B，1
18、，yb2，ABF的周长为|AF|BF|AB|22x0aax022a22a2b.由题意知2a2b4c4a，由4c4a，得e1；由2a2b4c，得a2c24c24aca2，得e.综上，e的取值范围是.6一题两空已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e，直线l交椭圆于M，N两点(1)若直线l的方程为yx4，则弦MN的长为_；(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l的方程为_(1)(2)6x5y280(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.将4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦长|MN|x2x1|.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，又B(0，4)，(2，4)2(x02，y0)，即故得x03，y02，即Q的坐标为(3，2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kMN，故直线MN的方程为y2(x3)，即6x5y280.
