1、5.7三角函数的应用学 习 任 务核 心 素 养1了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题(重点)2实际问题抽象为三角函数模型(难点)1通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养2借助实际问题求解，提升数学运算素养.如图所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运动从某一时刻开始，如果记t s后小球的位移为x cm，则由物理学知识可知x与t的关系可以写成xAsin(t)的形式，其中A，都是常数日常生活中，一般家用
2、电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成iImsin(t)的形式，其中Im，都是常数显然，上述x与i都是t的函数那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？知识点函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义1.函数ysin的周期、振幅、初相分别是()A3，B6，C3，3，D6，3，Bysin的周期T6，振幅为，初相为.2.函数y3sin的频率为_，相位为_，初相为_x频率为，相位为x，初相为. 类型1三角函数模型在物理学中的应用【例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函
3、数的简图，并回答下列问题(1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？解列表如下：t2t02sin01010s04040描点、连线，图象如图所示(1)将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数yAsin(x)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T为周期，表
4、示物体往复振动一次所需的时间，f为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数1交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解(1)当t0时，E110(V)，即开始时的电压为110 V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V，当100t，即t s时第一次取得最大值 类型2三角函数模型的实际应用【例2】(对接教材P245例题)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0t24，记yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t
5、03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数yAcos tb的图象(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？如何借助表格中的数据探寻与参数A，b的相关量？解三角不等式的关键是什么？解(1)由表中数据可知，T12，.又t0时，y1.5，Ab1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以振幅为，函数解析式为ycost1(0t24)(2)y1时，才对冲浪爱好者开放，y
6、cost11，cost0,2kt2k，即12k3t12k3，(kZ)又0t24，所以0t3或9t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9t15.解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域2通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数yAsin(x)b的图象某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 .(1)求出该地区该时期的温度函数yAsin(x)b(A0，0，|，x0,24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ，教室就要开空调，请问届时
7、学校后勤应该开空调吗？解(1)由题意知解得易知142，所以T24，所以，易知8sin62，即sin1，故22k，kZ，又|，得，所以y8sin6(x0,24)(2)当x9时，y8sin68sin 61cos ，不适合代入，得0，0)，则从表中数据可以得到A4，又由4sin 4.0，得sin 1，取，故y4sin，即y4cos t.1最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是()AysinBysinCysinDysinD由题意可知，周期T，3.ysin，故选D.2如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5B6C8
8、D10C由题意可知3k2，k5，从而ymax3k358.故选C.3(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是()A该质点的运动周期为0.8 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零AD由图可知T0.6，T0.8.振幅A5 cm，当t0.1 s或0.5 s时，v0.故选AD.4一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l_cm.由已知得1，所以2，42，l.5如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为_y6sinx，x0,24设y与x的函数关系式为yAsin(x)(A0，0)，则A6，T12，.当x9时，ymax6.故92k，kZ.取k1得，即y6sinx，x0,24回顾本节知识，自我完成以下问题：1在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？提示在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型yAsin(x)b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题2在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示
