1、北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（5-11班，含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】计算，再计算得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.已知命题p：c0，方程x2-x+c=0有解，则p为（ ）A. c0，方程x2-x+c=0无解B. c0，方程x2-x+c=0有解C. c0，方程x2-x+c=0无解D. c0，方程x2-x+c=0有解【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的
2、否定是全称命题，可得结果.【详解】命题p：c0，方程x2-x+c=0有解，则p为c0，方程x2-x+c=0无解,故选：A.【点睛】本题考查特称命题否定，是基础题.3.已知定义在R上的函数f（x）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x1234f（x）6.12.9-3.5-1那么函数f（x）一定存在零点的区间是（ ）A. （-，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】C【解析】【分析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.【详解】由表可知，由零点存在性定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3），故选：C.【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础
3、题.4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+）上单调递减的（ ）A. y=x2B. y=C. y=x+1D. y=-【答案】B【解析】【分析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断.【详解】对A. y=x2在（0,+）上单调递增，故排除；对B. y=，其定义域上既是偶函数，又在（0,+）上单调递减；对C. y=x+1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y=-，其为非奇非偶函数，故排除，故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题.5.若ab，则下列四个不等式中必成立的是（ ）A. acbcB. C. a2b2D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性
4、质，逐一分析选项是否恒成立.【详解】A.当时，不等式不成立；B.当时，不等式不成立；C.当时，不等式不成立；D.因为，故不等式必成立，故选：D.【点睛】本题以命题真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题.6.函数f(x)=的最大值为 （ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】本小题主要考查均值定理（当且仅，即时取等号故选B7.是命题“，”为真命题的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】“，”等价于大于等于的最大值，由的范围求得的范围，可得的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果
5、【详解】因为“，”等价于大于等于的最大值，而，有，所以，由，可得成立，即，成立；反之，成立，可得，不能推出是命题“，”为真命题的充分而不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.已知奇函数的图像关于直线对称，且，则的值为（ ）A. 3B. 0C. -3D. 【答案】C【
6、解析】【分析】由函数的图象关于直线对称，可得，再结合为奇函数，求得的值.【详解】解：由函数的图象关于直线对称，可得，再结合为奇函数，可得，求得，故选：C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题.9.已知函数,若对任意,且,不等式恒成立,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对不等式进行化简，转化为a（x1+x2）10恒成立，再将不等式变形，得到a恒成立，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【详解】不妨设x2x12，不等式=a（x1+x2）1，对任意x1，x22，+），且x1x2，不等式0恒成立，x2x12时，a（x
7、1+x2）10，即a恒成立x2x12a，即a的取值范围为，+）；故选：D【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ，或是的形式，即求 ，求参数取值.10.给定条件：x0R，f（-x0）=-f（x0）；xR，f（1-x）=-f（1+x）.下列三个函数：y=x3，y=|x-1|，y=中，同时满足条件的函数个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据条件得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y
8、=x3；根据的解的情况，可判断y=|x-1|；最后验证y=满足.【详解】解：令，则，所以为偶函数，关于对称，将的图象向右平移一个单位可得的图象，故图象关于对称，故可排除；若存在一个使得，即，该方程无解，故不满足，排除；对于，当时，其满足，画出图象如下：由图象可知，满足.故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于对称是关键，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中的横线上. 11.计算+=_.【答案】【解析】【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式，故答案为：.【点睛】本题考查有理指
9、数幂的运算性质，是基础的计算题.12.函数y=+的定义域为_.【答案】，1）（1，+）【解析】【分析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出的范围.【详解】解：要使函数有意义需要解得且，故答案为：，1）（1，+）.【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13.若函数f（x）=x2-2x+1在区间a，a+2上的最大值为4，则a的值为_.【答案】-1或1【解析】【分析】对a分类讨论，利用函数f（x）=x2-2x+1在区间a，a+2上的最大值为4，建立方程，即可求得a的值.【详解】解：由题意，当时，即，；
10、当时，即，；综上知，的值为1或1.故答案为：1或1.【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14.如果关于x的方程x2+（m-1）x-m=0有两个大于的正根，则实数m的取值范围为_.【答案】（-，-）【解析】【分析】方程有两个大于的根，据此可以列出不等式组求得m的取值范围即可.【详解】解：根据题意，m应当满足条件即：，解得：，实数m的取值范围：（-，-）.故答案为：（-，-）.【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.15.能说明“若对任意的都成立，则在上的最小值大于在上的最大值”为假
11、命题的一对函数可以是_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由不等式恒成立可设，结合单调性求出其在上的最大值，即可得到符合题意【详解】“若对任意的都成立，则在上的最小值大于在上的最大值”，可设，显然恒成立，且在的最小值为0，在的最大值为1，显然不成立，故答案为，【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，熟练掌握初等函数的性质是解题的关键，属于基础题16.已知函数.（1）当1时，函数的值域是_；（2）若函数的图像与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）根据分段函数单调性求值域，（2）先根据分段
12、函数解析式关系确定讨论点，再结合图象确定满足条件的参数范围.【详解】（1）当1时，当时，当时，所以函数的值域是（2）因为当时，所以只需函数的图像与直线只有一个公共点，当，即时，所以当时，函数图像与直线只有一个公共点，当，即或时，所以当或，即，从而函数的图像与直线无公共点，因此实数的取值范围是故答案为：(1). (2). 【点睛】本题考查分段函数值域以及根据函数图象交点个数求参数，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.三、解答题：共40分.17.设关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B（1）求集合A，B；（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和
13、分式不等式得解；（2）由题得且，解不等式得解.【详解】（1）（2）且，即a取值范围为【点睛】本题主要考查绝对值不等式和分式不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数.若函数的图象经过点，求实数的值.当时，函数的最小值为1，求当时，函数最大值.【答案】b2；见解析.【解析】【分析】（1）把点的坐标代入f（x）计算；（2）对f（x）的对称轴与区间1，2的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值【详解】解：（1）把（4，3）代入f（x）得168b+33，b2（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为xb若b1，则f（x）在1，2上是
14、增函数，fmin（x）f（1）4+2b1，解得bfmax（x）f（2）74b13若b2，则f（x）在1，2上是减函数，fmin（x）f（2）74b1，解得b（舍）若1b2，则f（x）在1，b上是减函数，在（b，2上增函数fmin（x）f（b）b2+31，解得b或b（舍）fmax（x）f（1）4+2b4+2综上，当b1时，f（x）的最大值为13，当1b2时，f（x）最大值为4+2【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题19.如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与
15、发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】（1）炮的最大射程是10千米（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标【解析】试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解试题解析：（1）令y0，得kx（1k2）x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米（2）因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0
16、，使3.2ka（1k2）a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式（20a）24a2（a264）0a6.所以当a不超过6（千米）时，可击中目标考点：函数模型的选择与应用20.如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的xR，均有f（-x）-f（x），则称该函数是“X函数”.（1）分别判断下列函数：y=；y=x+1；y=x2+2x-3否为“X函数”？（直接写出结论）（2）若函数f（x）=x-x2+a是“X函数”，求实数a取值范围；（3）设“X函数”f（x）=在R上单调递增，求所有可能的集合A与B.【答案】（1）是“X函数”，不是“X函数”.（2）（0，+）（3）A=0，+），B=（
17、-，0）【解析】【分析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.【详解】（1）是“X函数”，不是“X函数”；（2）f（-x）=-x-x2+a，-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X函数”，f（-x）=-f（x）无实数解，即x2+a=0无实数解，a0，a的取值范围为（0，+）；（3）对任意的x0，若xA且-xA，则-xx，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若xB且-xB，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X函数”矛盾，舍去；对任意的x0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，（0，+）A，（-，0）B，假设0B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X函数”矛盾，舍去；0A，经检验，A=0，+），B=（-，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.
