1、第四节 复数的概念及其运算 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.掌握复数代数形式的四则运算.4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.理解复数的有关概念是基础,解决复数问题的基本思路是把复数问题实数化.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项,乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化,因此要用类比的思想学习复数的运算问题.知识链条完善 把散落的知识连起来 一、复数的有关概念 1.复数的定义 形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中实部是 ,虚部是 (i是虚数单位).网络构
2、建 a b 2.复数的分类 复数 z=a+bi(a,bR)=0=000baba实数纯虚数虚数非纯虚数 5.复数的模 向量 OZ 的模叫做复数 z=a+bi 的模,记作 或 ,即|z|=|a+bi|=r=22ab(r0,r,a,bR).3.复数相等 a+bi=c+di (a,b,c,dR).4.共轭复数 a+bi与c+di互为共轭复数 (a,b,c,dR).a=c且b=d a=c且b=-d|z|a+bi|二、复数的几何意义 1.复平面的概念 建立 来表示复数的平面叫做复平面.2.实轴、虚轴 在复平面内,x轴叫做 ,y轴叫做 ,实轴上的点都表示 ;除原点以外,虚轴上的点都表示 .3.复数的几何表示
3、 复数 z=a+bi复平面内的点 平面向量OZ.直角坐标系 实轴 虚轴 实数 纯虚数 Z(a,b)三、复数的运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;(3)乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;(4)除法:12zz=iiabcd=iiiiabcdcdcd=22acbdcd+(c+di0).(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i 22bcadcdi2.复数加法的运算定律 复数的加法满足交换
4、律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.四、与复数运算有关的结论 1.(1i)2=2i.2.=i,=-i.3.(a+bi)(a-bi)=a2+b2.4.(abi)2=a2-b22abi.5.iiab=b-ai.z2+z1 z1+(z2+z3)拓展空间 概念理解(1)复数的代数形式z=a+bi(a,bR),虚部是b而不是bi,即实部和虚部都是实数.(2)一个复数若为纯虚数,则既要满足实数a=0,又要满足虚部b0,两个条件缺一不可.(3)两个复数一般不能比较大小,只能说相等或不相等.(4)两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等.(5)虚轴上的点除原
5、点外都表示纯虚数.(6)复平面内表示复数z=a+bi的点Z的坐标为(a,b),而不是(a,bi).五、复数的模 1.复数的模的相关结论 设 z1,z2是任意两个复数,(1)|z1z2|=|z1|z2|,|12zz|=12zz(|z2|0).(2)|=|z1|n(nN*).(3)|z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|,等号成立的条件是当|z1+z2|=|z1|+|z2|时,即z1,z2所对应的向量同向共线;当|z1|-|z2|=|z1+z2|时,即z1,z2所对应的向量反向共线.(4)|z1|-|z2|z1-z2|z1|+|z2|,等号成立的条件是当|z1-z2|=|z1|+|z2|时,
6、即z1,z2所对应的向量反向共线;|z1|-|z2|=|z1-z2|时,即z1,z2所对应的向量同向共线.1nz2.复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi,则|z|表示在复平面所对应的点Z(a,b)到原点的距离.(2)若复数z=a+bi,z0=a0+b0i,则|z-z0|表示复平面内两点(a,b)与(a0,b0)间的距离,即两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.六、与复数概念有关的结论 1.实数集 R 与虚数集都是复数集的真子集且互为补集,即 R虚数=C,R虚数=.2.z=a+bi=0a=b=0.3.复数能比较大小的充要条件是复数为实数.4.i2=-1.5.i4n=1,i
7、4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.6.共轭复数的性质 设 z=a+bi,z=a-bi(a,bR),则(1)z+z=2a,z-z=2bi;(2)z=z;(3)|z|=|z|=22ab,z z=a2+b2=|z|2=|z|2;(4)zRz=z;(5)z 与 z 在复平面内所对应的点关于实轴对称.温故知新 1.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=2+i,则z2等于()(A)2+i(B)-2+i(C)2-i(D)-2-i B 解析:复数z1=2+i所对应的点Z1(2,1),Z1(2,1)关于虚轴对称的点Z2(-2,1),
8、所以z2=-2+i.2.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为()(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)2或0 C 解析:由已知21a =41,则 a=2.解析:方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)可化为 x2+4x+4+i(x+a)=0,由复数相等的意义得2440,0,xxxa 解得 x=-2,a=2,方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,故 b=-2,所以复数 z=2-2i,所以复数 z 的共轭复数为 2+2i.故选 B.3.(2018杭州高级中学月考)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根
9、b,且z=a+bi,则复数z的共轭复数为()(A)2-2i(B)2+2i(C)-2+2i(D)-2-2i B 解析:|z|=|22ii|=5.故选 C.4.复数 z=22ii(i 为虚数单位),则|z|等于()(A)25(B)41 (C)5 (D)5 C 高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 复数的概念及分类【例 1】复数 z=(m2+m-6)i+27123mmm为纯虚数,则实数 m 的值为()(A)2 (B)-3(C)4 (D)3 或 4 解析:由227120,30,60,mmmmm得 m=3 或 m=4.故选 D.反思归纳 处理有关复数的基本概念问题,关键找准复数的实部和虚部,把复数问题
10、转化为实数问题来解决.迁移训练 1.若复数m(m-2)+(m2-3m+2)i是纯虚数,则实数m的值为()(A)0或2 (B)2 (C)0 (D)1或2 解析:因为 m(m-2)+(m2-3m+2)i 是纯虚数,则220,320,m mmm解得 m=0.故选 C.C 2.复数 z=(3-2i)i 的共轭复数 z 等于()(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i 解析:因为 z=(3-2i)i=2+3i,所以 z=2-3i.故选 C.C 考点二 复数的几何意义【例2】(1)(2018金华模拟)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三
11、象限(D)第四象限 解析:(1)i(1-2i)=-2i2+i=2+i,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选A.(2)若复数 z 满足 z=2i2i(i 是虚数单位),则在复平面内,z 对应的点的坐标是()(A)(425,325)(B)(-425,325)(C)(425,-325)(D)(-425,-325)解析:(2)z=2i2i=i44i1=i34i=i 34i25=425+325i,所以在复平面内,z 对应的点的坐标是(425,325).故选 A.反思归纳 判断复数所在平面内的点的位置的方法:首先将复数化成 a+bi(a,bR)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所
12、在的象限及坐标.迁移训练 1.在复平面中,复数1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为A,B,则线段AB的中点C对应的复数为()(A)-4+2i(B)4-2i(C)-2+i(D)2-i 解析:(1+i)(2-i)=3+i,所以A,B的坐标分别为(1,-3)和(3,1),所以线段AB的中点C的坐标为(2,-1),所以线段AB的中点C对应的复数为2-i,故选D.D 解析:由题意得2650,20,mmm 即15,2,mmm或 所以 m1.2.在复平面内表示复数z=m2-6m+5+(m-2)i的点位于第四象限,则m的取值范围为 .答案:(-,1)3.若复数z满足|z-3i|=5,求|z+2|的最大
13、值和最小值.解:由复数模的几何意义可知,|z-3i|=5 表示以(0,3)为圆心,以 5 为半径的圆上的点.则|z+2|表示该圆上点到点(-2,0)的距离,由图可知,|z+2|的最大值为 5+13,最小值为 5-13.考点三 复数代数形式的运算 解析:(1)复数 7i34i=7i34i34i34i=2525i25=1-i.故选 A.【例 3】(1)i 是虚数单位,复数 7i34i等于()(A)1-i (B)-1+i(C)1725+3125i(D)-177+257i 解析:(2)z=43i34i=534i=5 34i34i34i=5 34i25=35+45i,所以复数 z 的虚部是 45,故选
14、D.(2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为()(A)-4(B)-45(C)4 (D)45 反思归纳 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算;复数除法运算的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数转化为复数的乘法运算,注意要把i的幂化成最简形式.(2)将所求复数z分离出来,利用复数运算法则求解.迁移训练 1.已知 z=1i1i,其中 i 是虚数单位,则 z+z2+z3+z2 017的值为()(A)1+i(B)1-i(C)i (D)-i C 解析:由于 z=1i1i=i,所以 z+z2+z3+z2 017=504(i+i2+i3+i4)+i=i,故选 C.2.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1z2是实数,求z2.解:由(z1-2)(1+i)=1-iz1=2-i,设z2=a+2i(aR),则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,因为z1z2是实数,所以a=4z2=4+2i.点击进入课时训练
