1、平均不等式 本节主要内容是两个、三个或n个（nN+）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，也就是 对于一般正整数n的平均不等式，我们将在本节的附录里给出证明A类例题例1 证明：对任意实数a1,b1， 有分析：由对称性，容易算出当a=b=2时等号成立，此时证明：即 同理 两同向不等式相加得，a=b=2时等号成立说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息，有时能帮助我们找到证题的入口本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性链接：本题可以稍作引申：当a1,b1,c1时，例2 已知a2, an是n个正数，满足c=1 求证：（2+ a1）（2+ a2）（2+ an） (1989年全国联赛题)分
2、析：考虑到已知条件a1.a2an=1，因此如何从（2+ a1）（2+ a2）（2+ an）过渡到能用已知条件就成关键再注意到2+ a1，2+ a2等都与3比较接近，并且还有相等的可能，因此证法便自然得到证明：1+1+ a1即 2+ a1同理 2+ a2 2+ an将这n个同向不等式相乘得（2+ a1）（2+ a2）（2+ an）.，当a1= a2= an时等号成立说明：本题证明中将2+ a1拆成1+1+ a1，这种恒等变形（分拆）还有形形色色的“凑”和“配”，在解题时是经常用到的这些技巧的运用并无固定的程式和章法可套，只能根据题目的特点，因题而异经验和洞察力要靠我们不断地实践和积累链接：本题也
3、可以从左边入手乘开，或将3n表为（2+1）n二项展开都可以获得成功，过程略显繁琐例3 设ab0，那么a2+的最小值是_（2005年全国高中联赛江苏赛区初赛）分析：本题取自课本的一个习题（人教社版，第二册（上），题中有两个变量a，b，解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数在这中间我们又注意到和-b之和为a，因式解： a2+，因此a2+的最小值是4 当时取得最小值说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式链接：如果题目变为ab0，求a2+的最小值，你会做吗？情景再现1. 设abc
4、，证明2. 设X1, X2Xn，求证 X1+ X2+ Xn3. 证明 3，其中a，b，cR+B类例题例4 已知abc=0，求证 （2004年北京市中学生数学竞赛高一）分析：如果通分或去分母也许能行得通，但计算量太大，因此这种情况下往往考虑利用“”或“”的变形（而不是恒等变形）统一分母证明：4a4+b4+c4= 2a4+ a4+ b4+ a4+ c42a4+2a2b2+2a2c2所以同理可得三式相加得 当a2=b2=c20时上式等号成立说明：平均不等式还有一些特殊形式，从中还能推导出另外一些“副产品”，而所有这些在证题中是常常用得到的，例如：a2+b22ab （a，bR）a+2 （aR+）2 （
5、ab0）A3+b3+c33abc （a，b，cR+） （a，bR） （a，b，cR） 此外该题处理分母的方法给我们深刻印象，值得借鉴例5 已知a，b，c是正数且abc1试证：分析：不等式的左边是分式，处理分式的原则一般是能不通分时尽量不通分，能不去分母时尽量不去分母，避开它，绕道走，减小计算量，却同样达到目的改变结构，转换命题，使得新命题便于用已知条件，便于用平均值不等式证明：原题等价于证明而=因而 当a=b=c=1时等号成立说明：转换命题或加强命题是证题的一个重要手段，也是一个策略例5与例4都是分式不等式，都用平均不等式解决问题，但途径、风格截然不同例6设a，b，c是正实数，且满足abc1，
6、证明（第41届IMO）分析：不等式左边三个括号所代表的数有可能为负数（或零），因此，不能直接用平均不等式但仔细观察、计算发现三个括号最多只能有一个不是正数因此，应先讨论此外，即使全正，用三个正数的算术平均，推导也难以进行故应该用两个正数的算术平均不小于相应的几何平均证法一：1，三个式的值如果一个不为正（即为零或负），另两个为非负，不等式显然成立2以上三个式的值最多有一个不为正数，证明如下假设有两个不正，不妨设（相加）2ab0这不可能，故三个式子的值最少两个为正3如三个数全为正a2b同理 三式相乘得2因此.当a=b=c=1时等号成立综上原不等式成立.证法二：令a=，b=，c= (x，y，zR+)
7、代入后原不等式化为要证 （x-y+z）(y-z+x)(z-x+y)xyz. 说明：两种政法殊途同归.第二种证法告诉我们，如果能把一个新问题转化为一个我曾经解决过的问题，那么新问题也就得解.链接：本题可推广为n个任意正整数，a，b，cR+，abc=1，那么情景再现4. 证明对所有正实数a，b，c有5. 设a，b，c为正实数，求的最小值. （第三届中国女子数学奥林匹克）C类例题例7 x，y，zR，求u=的最大值.分析：u的值可正，可负也可为零.因此最大值肯定为正值.xy,2yz都可以通过不等式建立与x2+y2,y2+z2的联系.解：引入待定正的常数xy+2yz令 解此方程组得 这样便有xy+2yz
8、 umax=，当 （x0）时取得最大值.说明：我们也可以从判别式入手，同样可以求得u的最大值.解法如下：最大值应为正值，因此u 0. 原式化为uz2-2yz+(ux2+uy2-xy)=0.将此式看作是关于z的方程，该方程必有解故即将此式看作是关于的不等式，该不等式必定有解，故u取正值时原式中0，于是得也就是umax=比较两种解法，后者显得自然流畅，而前者把待定系数法应用到不等式中使人感到耳目一新链接：本题解法为我们解决多元函数的最值提供了新的方法例8a，b为正实数，（，），求的最小值分析：这是一道含有三角函数的题因此解题过程一定会用上三角公式，经验告诉我们如果直接不好求，则可转而求其平方的最值
9、解：令原式为f(x)，则f(x)2= = =a2+b2+a2cot2x+2abtanx+2abcotx+b2tan2x = a2+b2+(a2cot2x+abtanx+abtanx)+(b2tan2x+abcotx+abcotx) 当tanxaba2cotx，也就是tanx时取得最小值链接：本题做法很多，可以用柯西不等式来证，也可以用求导数的方法求得结果，其过程都不很长本题有明显的几何背景：如图点p位于第一象限，过p引直线交x轴正方向与，交轴正方向与，求线段的最小值令ABO=x,容易算得PB=，PA=，则AB=+，n是任意正整数，还有相应的不等式+，这个不等式的证明也不很困难，只要用上n个正数
10、的平均值定理即可，这个不等式证完例8就可以看作是它的一个特例例9设，为正实数，满足条件，试求的最小值（第三届中国女子数学奥林匹克）分析：从改造已知条件入手，是与的几何平均，很容易想到，因此有也即这个条件从形式上更接近于解：由于，因此由已知条件可得又（）（）另一方面，显然满足题中条件，因此的最小值为说明：本题实质是据一个已知不等式，去证明另一个不等式，其中的过程就是一个简单的乘法公式和平均值不等式的应用例10n为任意正整数，求证分析：原不等式等价于证明该式左边可看作是某n个正数的算术平均如右边能写成相应的几何平均，则问题得证证明：考虑n个正数，由平均不等式即说明：证题的关键是命题的改造和巧妙的“
11、配”和“凑”，有针对性的“配”、“凑”能使已知条件和相关定理得到最合理的运用同时，它也使得条件和结论的内在联系显现出来因此这种技能和技巧值得我们很好地学习和用心去体会从原题形式看不出它与平均值不等式有什么直接联系，这需要我们对题目要进行进一步的挖掘，并且要增强运用平均不等式的意识链接：从数列的观点看，该不等式表明数列是一个单调递增数列在高等数学里还进一步证明它是有界数列，是与同样活跃的一个超越数例10 的证法很多，相比之下用平均值不等式的证明可说是最为自然和简捷情景再现6.，求证：7. 设，y，z，w是不全为的实数，求的最大值习题1. 已知，y，zR+，且yz（+y+z）=1，证明（+y）（y
12、+ z），并指出何时等号成立.2. n2，求证：.3. 设数列满足a1=1，an+1an=n+1 (n为任意正整数)，求证：4. 设a，a1，b，b1均为正实数，求证5. a，b，c，求证：6. ，且，求证：7. a，b，c，）证明2）证明 3）证明 （1963年莫斯科数学竞赛）8. 设正实数，y满足，求证：（2005年女子数学奥林匹克）9. 设a，b，y都是正数，并且，求证10. 设正实数，y，z满足+y+z=yz，求的最小值 （2003年中国国家集训队测试题）11. 设实数a，b满足ab 0，证明：，并求等号成立的条件一般地，证明：对任意实数a，b均有，并求等号成立的条件（第十四届爱尔其数
13、学奥林匹克）12. 0ai0，An=，Gn=，则AnGn，当且仅当a1=a2=an时等号成立我们用数学归纳法来证明它，时不等式显然成立假设nk时不等式成立，那么Ak+1=（其中有k1个）即nk1时不等式成立由上可知，对n不等式成立本节“情景再现”解答1. 2. ，相加后即得3.4. 由得，同理，相加后对不等式右边稍作化简便得5. 令x=a+2b+c，y= a+b+2c，z=a+b+3c，则有x-y= b-c，z-y= c，由此可得a+3c=2y-x，b= z+x-2 y，c= z- y，故上式中的等号可以成立事实上，由上述推导过程知，等号成立当且仅当平均不等式中的等号成立，而这等价于，也即，即
14、，亦即，解此不定方程，得到，只要满足此条件便能取得最小值6. ，即，也就是7. 该题解法可完全仿照例7，显然只需考虑0，y0，z0，w0的情形引进待定正常数，则有即将上述三式相加得令，解得，于是，即所求最大值是本节习题解答1. ，容易算得时取得等号2. n2 皆为正数，据对数换底公式3. 由已知，易证,又a2=2n2时，相减得，据此，相加得4. ，即同理，相加5. 分析：欲证原不等式成立，只要证，去分母，即证，经过展开，化简，即证，此式显然成立，原不等式获证6. 令，据已知则有，同理，相乘得7. 1），相乘便得 2）据1）即 3）由于2）8. 由平均不等式得，所以，又 9. 分析法，将欲证不等式两边平方，即证 ，乘开即证 ，而，因此问题变更为要证此式显然成立，原不等式得证10. 因为，y，z0,且+y+z=yz，所以，同理，又由平均不等式有，当且仅当时等号成立所以，故原式最小值为注：此题更一般的推广形式为：设，y，z0,，则，其中，由此可解决下面有趣的问题，若，y，z0,，求的最小值11. 时，（时取等号）对任意，若，（据前已证结论）（时取等号）若，等号在时成立，即或时取到12. 配对据n个正数的平均不等式易得即（1）又 （2）（1）（2）相乘便得
