1、第4讲 平面向量的应用举例 考纲要求考点分布考情风向标1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题2011 年大纲卷第 3 题考查向量的模；2012 年新课标卷第 15 题考查向量的模；2013 年新课标卷第 14 题考查在正方形里求向量的数量积；2014 年新课标卷第 15 题考查在直角三角形中考查向量夹角；2015 年新课标卷第 13 题考查利用正弦定理求边的范围平面向量数量积是高考考查的重点，复习时要重视数量积的两种运算方式，熟练掌握数量积的运算及相关变形，掌握数量积在解决垂直、夹角、长度等问题中的应用；重视以数量积为联系纽带与直线、三角
2、函数、圆锥曲线、数列等知识的综合问题，并以此来培养分析解决问题的能力1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为实数(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：x1x2y1y20abab0_.(3)求夹角问题，利用夹角公式：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22(为 a 与 b 的夹角)2平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算
3、工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质1已知 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_.解 析：设 a 和 b 的 夹 角 为 ，|a|cos|a|ab|a|b|24374272 1365 655.655则实数 k 的值为()BA2B1C1D2则|a2b|()B2已知点A(1,0
4、)，B(1,3)，向量a(2k1,2)，若ABa，3(2011年大纲)设向量 a，b 满足|a|b|1，ab，12A 2 B 3C 5 D 7解析：|a2b|2|a|24ab4|b|21412 43，所以|a2b|3.4(2012 年新课标)已知向量 a，b 的夹角为 45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.103 2解析：|2ab|10，平方，得 4a24abb210，即|b|22 2|b|60.解得|b|3 2或 2(舍去)考点 1 平面向量在三角函数中的应用例 1：(2015 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量m22，22，n(sinx，cosx)，x0，2.(1)若 mn
5、，求 tanx 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为3，求 x 的值解：(1)m22，22，n(sinx，cosx)，且 mn,mn22，22(sinx，cosx)22 sinx 22 cosxsinx4 0.又 x0，2，x44，4.x40，即 x4.tanxtan41.(2)由(1)知，cos3 mn|m|n|sinx4222222 sin2xcos2xsinx4.sinx4 12.又 x44，4，x46，即 x512.【规律方法】以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、周期等三角函数性质及三角恒等变换问题是高考中常见的考查形式，向量仅仅作为一个工具提供某种条件；解题时一般根据向量的模|
6、a|22xy、数量积abx1x2y1y2、平行与垂直的条件、夹角公式(cos ab|a|b|)等脱去向量外衣，将向量问题等价转化为三角函数问题，再应用三角函数的相关知识解答.【互动探究】(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值1(2014 年辽宁)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ac.已知BABC2，cosB13，b3，求：解：(1)由BABC2，得 cacosB2.又 cosB13，ac6.由余弦定理，得 a2c2b22accosB.又 b3，a2c292213.联立ac6，a2c213，得a2，c3或a3，c2.ac，a3，c2.(2)在ABC 中，s
7、inB 1cos2B11322 23.由正弦定理，得 sinCcbsinB232 234 29.abc，C 为锐角因此 cosC 1sin2C14 29279.cos(BC)cosBcosCsinBsinC13792 234 292327.考点 2 平面向量在平面几何中的应用答案：9例 2：(1)(2015 年湖北)已知向量OA AB，|OA|3，则OA OB_.解析：因为向量OA AB，所以OA AB0，即OA(OB OA)0，所以OA OB OA 20，即OA OB OA 29.故应填 9.则BDCD(2)(2015 年山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，)答案：DA32a
8、2 B34a2 C34a2 D32a2解析：因为BD CD BD BABABC BABA2 BCBAa2a2cos6032a2.故选 D.解析：如图 D20，连接 PO，在直角三角 形 PAO 中，OA1，PA ，所以 tanAPO图 D20答案：32(3)(2015 年山东)过点 P(1，3)作圆 x2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则PAPB_.3 33，APO6，APB3，cosAPB12，故PAPB|PA|PB|cosAPB 3 31232.【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过
9、向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系建立平面几何与向量的联系主要途径是建立平面直角坐标系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题CD 的中点，则AEBD_.【互动探究】2(2013 年新课标)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 解析：方法一，如图D21，以 A 为坐标原点，AB 所在的直 线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，图 D21则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，AE(1,2)，BD(2,2)AEBD 1(2)222.方法二，由题意知，AEBD(AD DE)(AD AB)AD 12AB(AD A
10、B)AD2 12AD AB12AB2 4022.答案：2考点 3 平面向量在解析几何中的应用例 3：已知曲线 F 上任意一点 M 到两个定点 F1(3，0)和 F2(3，0)的距离之和为 4.(1)求曲线 F 的方程；(2)设过(0，2)的直线 l 与曲线 F 交于 C，D 两点，且OC OD0(O 为坐标原点)，求直线 l 的方程解：(1)根据椭圆的定义知，动点 M 的轨迹为椭圆，其中 a2，c 3，则 b a2c21.曲线 F 的轨迹方程为x24y21.(2)当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx2，且C(x1，y1)，D(x2，y2)
11、OC OD 0，x1x2y1y20.y1kx12，y2kx22，y1y2k2x1x22k(x1x2)4.即 k24.解得 k2 或 k2.直线 l 的方程是 y2x2 或 y2x2.(1k2)x1x22k(x1x2)40.由方程组x24y21，ykx2，得(14k2)x216kx120.则 x1x2 16k14k2，x1x21214k2.代入，得(1k2)1214k22k 16k14k240，【规律方法】在平面向量与平面解析几何整合的问题中，难点是如何把向量表示的解析几何问题转化为纯粹的解析几何问题；破解难点的方法是先根据平面向量知识弄清向量表述的解析几何问题的几何意义，再根据这个几何意义用代
12、数的方法研究解决【互动探究】)D则点 P 的轨迹是(A圆C双曲线B椭圆D抛物线3已知点 A(2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足PAPBx2，解析：PA(2x，y)，PB(3x，y)，PAPB(2x)(3x)y2x2.y2x6.难点突破 利用坐标法求最值 例题：(2015 年上海)已知平面向量 a、b、c 满足 ab，且|a|，|b|，|c|1,2,3，则|abc|的最大值是_解析：因为 ab，设 a(1,0)，b(0,2)，c(3cos，3sin)，0,2)，所以 abc(13cos，23sin)所以|abc|2(13cos)2(23sin)2146 5sin()，其中 sin66
13、 5 55.所以当 sin()1 时，|abc|取得最大值，即146 53 5.答案：3 51以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法2向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题3要注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价；注意向量共线和两直线平行的关系；要注意两向量 a，b 夹角为锐角和 ab0 不等价；要特别注意在ABC 中，|ABAC|AB|AC|,应该是|ABAC|AB|AC|cosA|.
