1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 选修2-1 第三章 空间向量与立体几何成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 空间向量与立体几何 第三章 第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 3.2 立体几何中的向量方法第三章 第5课时 利用向量知识求距离(选学)第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课 时 作 业 4课前自主预习 1第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 课前自主预习第三章 3.
2、2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 我们知道空间的距离问题最终都要归结为两点间线段的长度，即向量的模，由此思考如何用向量来求点面距、线面距、面面距和异面直线间的距离？第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 1在几何学中，我们经常遇到要计算两个图形之间的距离一般地，我们把一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的_，叫做图形与图形的距离计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题计算任何图形之间的距离都可以转化为求_之间的距离最小值两点第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A
3、版 数学 选修2-1 (1)两点间的距离(即线段的长度)求 A、B 两点间的距离一般用|AB|AB|2_ 求解(2)求点到平面的距离如图所示，已知点 B(x0，y0，z0)，平面 内一点 A(x1，y1，z1)，平面 的一个法向量 n，直线 AB 与平面 所成的角为，n，AB，则 sin|cosn，AB|cos|.由数量积的定义知，nAB|n|AB|cos，点 B 到平面 的距离 d|AB|sin|AB|cos|_.ABAB|nAB|n|第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 (3)求异面直线间的距离如右图，若CD是异面直线a、b的公垂线，A、B分
4、别为a、b上的任意两点，令向量na，nb，则nCD.则由 AB AC CD DB 得，AB nAC nCD nDB n，ABnCD n.|ABn|CD|n|，|CD|ABn|n|.两异面直线a、b间的距离为d_.|ABn|n|第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 (4)求直线到平面的距离设直线a平面，Aa，B，n是平面的法向量，过A作AC，垂足为C，则ACn，ABn(ACCB)nACn，|ABn|AC|n|.直线a到平面的距离d|AC|_.|ABn|n|第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 (5)求
5、两平行平面间的距离设n是两平行平面的一个法向量，A、B分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离d_.|ABn|n|第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 2空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式，即d|ABn|n|.其中A、B是分别在_的点，n是_(几何元素中含平面时)，或与两异面直线都垂直的向量(几何元素为两异面直线时)，明确了原理，求距离问题就很容易掌握3求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形既然分别在两几何元素上的点是任意的，实际取点时，要取方便且容易计算的两个几何元素上平面的法向
6、量第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 1(2015安徽屯溪一中高二期中测试)已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD()A2 B.3 C.2 D1答案 C第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 解析 如图，过点C作CEBD，且CEBD，连接AE、BE.BDl，CEl.又ACl，ACE为直二面角l的平面角，ACE90.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 又ACBD1，CE1，AE 2.又lAC，lCE，
7、ACCEC，l平面ACE，lAE.又BEl，BEAE.AB2，BE 2.又四边形BDCE是矩形，CDBE 2.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 2已知AB、BC、CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为()A4B2 C3 D2 3答案 D解析 AD ABBCCD，|AD|2|ABBCCD|2|AB|2|BC|2|CD|22ABBC2ABCD 2BCCD|AB|2|BC|2|CD|212，|AD|2 3，故选D.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 3棱长为1的正方体ABCDA1B
8、1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为_答案 13解析 以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易求平面EFD1B1的法向量n(1,1，12)，又DF(0，12，0)，d|DF n|n|13.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 4.如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB、AD的夹角都等于60，N是CM的中点(1)以AB、AD、AM 为基向量表示出向量CM，并求CM的长；(2)求BN的长第三章 3.2 第5课时 成才之
9、路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 解析(1)CM AM ACAM(ABAD)AM ABAD，|CM|2(AM AB AD)2AM2AB2AD22AM AB2AM AD 2ABADb2a2a22bacos602bacos602a2cos902a22abb2.|CM|2a22abb2.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 (2)BNBCCN BC12(AM ABAD)12(AM ABAD)，|BN|214(AM2AB2AD22AM AB 2AM AD 2ABAD)14(2a2b2)，|BN|12 2a2b2.第三章 3.2 第5课
10、时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 课堂典例讲练第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 两点间的距离(线段的长度)已知平行六面体ABCDABCD，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.求AC的长解析 因为AC ABAD AA，所以|AC|2(ABAD AA)(ABAD AA)|AB|2|AD|2|AA|22(ABAD ABAA AD AA)4232522(0107.5)85.因此|AC|85.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 点评 求两点间距离可转化为求
11、向量的模解题的关键是将所求向量用已知长度和夹角(尤其是垂直)的向量线性表示，然后按向量数量积运算法则计算第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a 2)(1)求MN的长；(2)求当a为何值时，MN的长最小第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 解析 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则F(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,1,1)AM(1 a2)AC 2a2(0,1,1)
12、BN a2 BF(a2，a2，0)，AN AB BN(a2，2a2，0)，MN ANAM 12(a,0，a 2)，|MN|a 22 212(0a 2)(2)由|MN|a 22 212，当a 22 时，|MN|min 22.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 异面直线间的距离正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离解析 如图建立坐标系，则A(1,0,0)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)、C1(0,1,1)AB1(0,1,1)，A1C1(1,1,0)第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导
13、 人教A版 数学 选修2-1 设MN是直线A1C1与AB1的公垂线，且AN AB1(0，)，A1M uA1C1(u，u,0)，则MN MA1 A1A AN(u，u,0)(0,0，1)(0，)(u，u，1)所以MN A1C1 0MN AB1 0，第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 即2u02u10，解得23u13.MN(13，13，13)，|MN|33.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 点评 求异面直线l与m之间的距离(一)可以找出其公垂线转化为求公垂线段的长度(二)可以设与异面直线都垂直的向量
14、为n，l、m的方向向量e1、e2，则由ne10ne20，可求出n，然后在l、m上各取一个已知点A、B，则距离d|ABn|n|，一般后一种方法比前一种方法要简便第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为_答案 217第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 解析 如图，分别以AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、C(1,1,0)、N(1,0，12)、M(
15、12，0,1)，AM(12，0,1)、CN(0，1，12)，设n(x，y，z)，且nAM，nCN，nAM 12xz0，nCN y12z0，x2z，y12z.取z2，则n(4,1,2)，AM与CN的距离d|ACn|n|217.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 点面距已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是边AB、AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 解析 以C为原点，直线CD、CB、CG分别为x轴、y轴、z
16、轴建立空间直角坐标系如图，则B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)，所以 GE(2,4，2)，GF(4,2，2)设n(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则n GE 2x4y2z0，n GF 4x2y2z0.令x1，得y1，z3，所以n(1,1,3)，而EB(2,0,0)，所以d|nEB|n|2 1111 即为所求第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 点评 1.求点面距时，(一)可由点P向平面作垂线，找出垂足P，转化为求线段长|PP|；(二)可用等积法求解；(三)设平面的法向量为n，平面内已知点A，则点P到平面的
17、距离d|PAn|n|；(四)可转化为线面距，利用过已知点与已知平面平行的直线上任一点到平面距离都相等求解第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，则点B到平面AEC1F的距离为_答案 63第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 解析 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)、F(0，12，0)、E(1，12，1)、B(1,1,0)AE(0，12，1)、AF(1，12，0)第三章 3.2 第5课时 成才之路
18、高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 设平面AEC1F的法向量为n(1，)，则nAE0，nAF0.1201120，21.n(1,2，1)又AB(0,1,0)，点B到平面AEC1F的距离d|ABn|n|26 63.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 线面距已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1E13A1B，B1F13B1D1.(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求EF与平面ABC1D1的距离d.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 解析
19、(1)证明：建立如图空间直角坐标系Bxyz，易得E23a，0，23a、F13a，13a，a，故EF13a，13a，13a、BA(a,0,0)、BC1(0，a，a)第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 设n(x，y，z)是平面ABC1D1的法向量由 nBA0nBC1 0，得ax0ayaz0，令z1，得n(0，1,1)EFn13a，13a，13a(0，1,1)0，EFn，由于EF平面ABC1D1，故EF平面ABC1D1.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 (2)解：由(1)得BE23a，0，23a，B
20、En23a，0，23a(0，1,1)23a.d|BEn|n|23 a.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E、F分别为AB、BC的中点求(1)点D到平面PEF的距离；(2)直线AC到平面PEF的距离解析 如图，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)、A(1，0,0)、C(0,1,0)、E1，12，0、F12，1，0.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 设DH平面PEF，垂足为H，则DH xDE yDF zDP(xyz1)x12y，12xy
21、，z，PE1，12，1，PF12，1，1.DH PE，DH PE x12y12 12xy z54xyz0.同理，由DH PF得，x54yz0.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 又xyz1，可解得xy 417，z 917.DH 317(2,2,3)，|DH|3 1717.(2)设AH平面PEF，垂足为H，则 AH DH.设AH(2,2,3)(2，2，3)(0)，则EH EA AH 0，12，0(2，2，3)2，212，3，AH EH 4242920，即 117.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1
22、 AH 117(2,2,3)，|AH|1717.而AC平面PEF，因此，点D到平面PEF的距离为3 1717.AC到平面PEF的距离为 1717.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 易错疑难辨析第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，求点D1到平面B1EF的距离d.错解 以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则E(2 2，2，0)、F(2，2 2，0)、B1(
23、2 2，2 2，4)、B(2 2，2 2，0)、D1(0,0,4)，B1E(0，2，4)、B1F(2，0,4)，设n(x，y，z)是平面B1EF的法向量，第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 则nB1E 2y4z0，nB1F 2x4z0，y2 2z，x2 2z.取z 2，则xy4，n(4，4，2)，又BD1(2 2，2 2，4)，且直线BD1与平面B1EF相交，D1到平面B1EF的距离d|BD1 n|n|20 1717.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 辨析 上述解法有两类错误：(1)是 AB
24、的坐标应是终点B的坐标减去起点A的坐标，错解在计算向量坐标时错误；(2)是求点面距时，应是用平面内一点和该点构成的向量与平面的法向量来求，错解中 BD1 的点B平面B1EF.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 正解 解法一：设EFBDG，连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，则VB1D1EF13SD1GB1EF，又VB1D1EF13SB1EFd1312EFB1Gd，12B1Gd12B1BD1B1，dD1HB1BD1B1B1G16 1717.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学
25、选修2-1 解法二：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E(22，2，0)、F(2，22，0)、B1(2 2，2 2，4)、D1(0,0,4)EB1(0，2，4)、FB1(2，0,4)、B1D1(2 2，2 2，0)第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 设n(x，y，z)是平面B1EF的一个法向量，则n EB1，nFB1，2y4z02x4z0，xy2 2z.可取n(2 2，2 2，1)D1到平面B1EF的距离d|B1D1 n|n|2 222 2210|88116 1717.第三章 3.2 第5课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）
