1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 选修1-1 1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 数系的扩充与复数的引入 第三章 第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 章末归纳总结第三章 第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 典例探究学案 2自主预习学案 1第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 自主预习学案第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 本章在小学
2、、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容本章共分两大节第一大节是“数系的扩充与复数的概念”第二大节是“复数的运算”在第一大节中，首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等在第二大节中，介绍了复数代数形式
3、的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则利用复数的四则运算，可把复数代数形式abi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方
4、程等数学问题第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 一、复数的概念1虚数单位 i：(1)i21；(2)i 和实数在一起，服从实数的运
5、算律2代数形式：abi(a、bR)，其中 a 叫实部，b 叫虚部3复数的分类复数 zabi(a、bR)中，z 是实数b0，z 是虚数b0z 是纯虚数a0b0.4abi 与 abi(a、bR)互为共轭复数第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 二、复数相等的条件abicdi(a、b、c、dR)ac 且 bd.特别 abi0(a、bR)a0 且 b0.三、复平面建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数原点对应复数 0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系以
6、原点 O 为起点，复数z 在复平面内的对应点 Z 为终点的向量OZ，与复数 z 一一对应，OZ的模叫做复数 z 的模第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 四、运算法则z1abi，z2cdi，(a、b、c、dR)1z1z2(ac)(bd)i；2z1z2(acbd)(adbc)i；3z1z2acbdc2d2 bcadc2d2 i.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 1.复数代数形式zabi中，a、bR应用复数相等的条件，必须先化
7、成代数形式2复数表示各类数的条件的前提必须是代数形式zabi(a、bR)，z为纯虚数的条件为a0且b0，注意虚数与纯虚数的区别3复数运算的法则，不要死记硬背，加、减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 4a20是在实数范围内的性质，在复数范围内z20不一定成立，|z|2z2.5复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量6不全为实数的两个复数不能比较大小7复平面的虚轴包括原点第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 典例探究学案第三章 章末归纳总结成
8、才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数题的前提复数的概念第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 已知复数zm(m1)(m22m3)i当m取何实数值时，复数z是：(1)零；(2)纯虚数；(3)z25i.解析(1)由题意可得mm10m22m30，即m0或m1m3或m1，m1.所以当 m1 时，复数 z 为零第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2(2)由题意可得mm10m22m30，解得m0或m1 m3且m1，所以 m0.所以
9、 m0 时，z 为纯虚数(3)由题意可得mm12m22m35，解得m2或m1m4或m2，m2.所以当 m2 时，复数 z 为 25i.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i21.复数的运算第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 (1i1i)4(12 32 i)18()A2i B1iC1i D2解析(1i1i)2i21，(12 32 i)31，(1i1i)4(12
10、 32 i)18(1i1i)22(12 32 i)362.答案 D第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 答案 0若 z21i，则 z2 012z2 016 的值是_.解析 z21i21i1i1i 21i2，z21i22i，z41，z2 012z2 016(z4)503(z4)5040.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效
11、地利用数形转换来解决实际问题复数及其运算的几何意义第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 z1i的点是()第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 AEBFCGDH分析 若zabi(a，bR)，则z在复平面内的对应点为Z(a，b)，据此可由点的坐标写出点对应的复数，也可描出复数在复平面内的对应点答案 D解析 点 Z(3,1)对应的复数为 z，z3i，z1i3i1i3i1i1i1i42i22i，该复数对应的点的坐标是(2，1)，即 H 点第三章 章末
12、归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点为起点的向量的模之间的关系，就能迅速求解有关复数模的问题复数的模第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 已知复数zcosisin(02)当为何值时，|1iz|取得最值并求出它的最值解析|1iz|cosisin1i|cos12sin12 2cossin32 2cos43，当 74 时，|1iz|max 21；当 34 时，|1iz|min 21.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 只要掌握共轭复数的定义
13、，会进行简单的运算即可，不必在复数的模与其轭复数的性质上下工夫共轭复数设 z 的共轭复数为 z，若 z z 4，z z 8，则zz等于()Ai BiC1 Di第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 解析 设 zxyi(x、yR)，则 z xyi.由 z z 4，z z 8，得xyixyi4xyixyi8，即x2x2y28，解得x2y2.zz xyixyix2y22xyix2y2i.答案 D第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 一、选择题1i 是虚数单位，(1i1i)4 等于()Ai BiC1 D1答案 C解析
14、 1i1i1i21i1i12i12i，1i1i4i41.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 2复数z13i，z21i，则zz1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案 D解析 z(3i)(1i)42i，所以复数z对应的点Z(4，2)在第四象限第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 3i 是虚数单位，若2i1iabi(a，bR)，则 ab 的值是()A0 B12C1 D2答案 C解析 abi2i1i2i1i1i1i3i2，a、bR，a32，b12，ab1.第三章 章末归纳总结
15、成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 4(2015石家庄质检)设 z1i(i 是虚数单位)，则2zz2等于()A1i B1iC1i D1i答案 C解析 2zz2 21i(1i)21i2i1i.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 5在复平面内，复数 10i3i对应的点的坐标为()A(1,3)B(3,1)C(1,3)D(3，1)答案 A点评 复数运算中乘法、除法是考查的重点解析 本题考查复数的乘法与除法10i3i 10i3i3i3i1030i1013i.复数 10i3i对应的点坐标为(1,3)第三章 章末归纳总结成才之路 高中新
16、课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 二、填空题6已知|z|3，且z3i是纯虚数，则z_.答案 3i解析 设 zabi(a、bR)，|z|3，a2b29.又 wz3iabi3ia(b3)i 为纯虚数，a0b30，即a0b3，又 a2b29，a0，b3.z3i.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 7当 z1i2 时，z2012z2014_.答案 1i解析 z1i2，z22i2 i，z2012(i)1006(1)5031，z2014z2012z2(1)(i)i，z2012z20141i.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A
17、版 数学 选修 1-2 8若复数 z 在复平面内的对应点在第二象限，|z|5，z对应点在直线 y43x 上，则 z_.答案 34i分析 利用 z对应点在直线 y43x 上可设出 z 或 z，再利用|z|5 可列方程求解，最后由 z 的对应点在第二象限决定取舍第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 解析 设 z3t4ti(tR)，则 z3t4ti，|z|5，9t216t225，t21，z 的对应点在第二象限，t0，t1，z34i.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 三、解答题9在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上分别求实数m的取值范围分析 确定z的实部、虚部 列方程不等式组 求解m第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修 1-2 解析 复数 z(m2m2)(m23m2)i 的实部为 m2m2，虚部为 m23m2.(1)由题意得 m2m20.解得 m2 或 m1.(2)由题意得m2m20m23m20，1m2m2或m11m1.(3)由已知得 m2m2m23m2.m2.
