1、北京市西城区20202021学年度第二学期期末试卷 高二数学 2021.7本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）与的等差中项是（A）（B）（C）（D）（2）已知函数，则（A）（B）（C）（D）（3）在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（A）（B）（C）（D）（4）如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（A）（B）（C）（D）（5）圆和圆的位置关系为（A）内切（B）相交（C）外切（D）外离（6）
2、设是公比为的等比数列，且若为递增数列，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（7）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的方差（A）（B）（C）（D）（8）在空间直角坐标系中，已知，且的面积为过作平面于点若三棱锥的体积为，则点的坐标可以为（A）（B）（C）（D）（9）记为数列的前项和若，则 （A）有最大项，有最大项（B）有最大项，有最小项（C）有最小项，有最大项（D）有最小项，有最小项（10）已知函数若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知函数，则_（
3、12）已知双曲线的焦距为，则实数_；的渐近线方程为_（13）甲、乙两地降雨的概率分别为和，两地同时降雨的概率为则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为_（14）用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计） （15）已知点列，其中是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，记则_； _三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知是等比数列，（）求的通项公式；（）若等差数列满足，求的前项和（17）（本小题13分）已知函数（）求的单调区间；（）求在区间上的最大值和最小值（18）（本小题15分）
4、如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，分别为的中点 （）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求直线与平面之间的距离（19）（本小题14分）某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：牙膏品牌销售价格市场份额（）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；（）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管（）求的值；（）从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望（）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份
5、额原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小（只需写出结论）（20）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，且过点 （）求椭圆的方程；（）过点作斜率为的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点求证：为的中点 （21）（本小题15分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）证明：北京市西城区20202021学年度第二学期期末试卷 高二数学参考答案 2021.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）C（3）D（4）D（5）C（6）C（7）B （8）B （9）A（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共
6、25分）（11） （12）（13）（14）（15） 注：（12）、（15）题第一空2分，第二空3分。三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（）设等比数列的公比为由题设，2分解得4分所以6分（）设等差数列的公差为因为，所以8分10分所以的前项和13分（17）（共13分）解：（）2分令，得4分与的变化情况如下：所以的单调递减区间为，单调递增区间为和7分（）由（）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减所以在区间上的最大值为9分在区间上的最小值为11分因为，且，所以在区间上的最小值为13分（18）（共15分）解：（）取的中点，连接因为，且；，且，所以，且所以四边形为平行四边形所以1分
7、在矩形中，因为分别为的中点，所以所以2分又平面，3分所以平面4分（）如图建立空间直角坐标系5分则，所以，设平面的法向量为，则即7分令，则，于是8分设直线与平面所成角为，则11分（）由（）知平面，所以直线与平面之间的距离为点到平面的距离13分所以直线与平面之间的距离为15分（19）（共14分）解：（）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件由题设，3分（）（）由题设，品牌的牙膏抽取了管，品牌的牙膏抽取了管，所以5分（）随机变量的可能取值为；6分；7分 8分所以的分布列为：9分的数学期望为11分（）14分（20）（共15分）解：（）由题设，得 2分解得 ，所以椭圆的方程为4分（）由题意，设直线的方程为由得5分由，得设，则，7分当时，直线的方程为令，得点的横坐标8分同理可得点的横坐标9分10分12分因为，所以所以为的中点13分当时， 直线的方程为，可求得所以直线的方程为，从而此时依然有15分综上，为的中点（21）（共15分）解：（）函数的定义域为1分且，3分因为，5分故所求的切线方程为，即6分（）由（）可知为上的增函数7分因为，所以存在唯一的，使9分从而有， 11分因为时，；时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增13分所以所以15分
