1、章末质量评估(六)(时间:120分钟分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.在ABCD中,若AD=(2,8),AB=(-3,4),则AC=()A.(-1,-12) B.(-1,12) C.(1,-12) D.(1,12)答案:B2.在ABC中,若A=3,BC=3,AB=6,则C=()A.4或34 B.34 C.4 D.6答案:C3.若四边形ABCD满足AB+CD=0,(AB-AD)AC=0,则该四边形一定是()A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形答案:C4.(2020年新高考全国卷)已知P是边长
2、为2的正六边形ABCDEF内的一点,则APAB的取值范围是()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4)D.(-4,6)答案:A5.若点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为()A.322 B.3152 C.-322 D.-3152答案:A6.在ABC中,若AB=BC=3,ABC=60,AD是边BC上的高,则ADAC的值等于()A.-94 B.94 C.274 D.9答案:C7.在ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30,ABC的面积为32,那么b等于()A.1+32 B.1+3 C.2+22 D.2
3、3答案:B8.如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30,与O相距15 n mile的C处.若甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为()A.12 hB.1 hC.32 hD.2 h答案:B二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若O是平行四边形ABCD对角线的交点,则()A.AB=DC B.DA+DC=DBC.AB-AD=BD D.OB=12(DA+BA)答案:AB10.在ABC中,若a=52
4、,c=10,A=30,则B可能是()A.135 B.105 C.45 D.15答案:BD11.已知向量 e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=1e1+2e2,则使120成立的a可能是()A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1)答案:AC12.定义平面向量之间的一种运算“”:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=mq-np,下列说法正确的是()A.若a与b共线,则ab=0B.ab=baC.对任意的R,有ab=(ab)D.(ab)2+(ab)2=|a|2|b|2答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.
5、在ABC中,若3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cos C的值为13.14.若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OAOB=0,则|AB|=25.15.(本题第一空2分,第二空3分)已知在ABC中,AB=AC=4,BC=2,D为AB延长线上一点,连接CD,若BD=2,则BDC的面积是152,cosCDB=104.16.太湖中有一个小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15的方向上,若汽车沿公路行驶1 km后,测得小岛在南偏西75的方向上,则小岛到公路的距离是36km.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10
6、分)在ABC中,a=3,b=26,B=2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=26,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得3sinA=26sin2A,所以2sinAcosAsinA=263.故cos A=63.(2)由(1),知cos A=63,所以sin A=1-cos2A=33.因为B=2A,所以cos B=2cos2A-1=13.所以sin B=1-cos2B=223.在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=539,所以c=asinCsinA=5.18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,|OA|=2|AB|=
7、2,OAB=23,BC=(-1,3).(1)求点B,C的坐标;(2)求证:四边形OABC为等腰梯形.(1)解:设点B的坐标为(xB,yB),则xB=|OA|+|AB|cos(-OAB)=52,yB=|AB|sin(-OAB)=32,所以OC=OB+BC=（52,32）+(-1,3)=（32,332）,所以点B的坐标为（52,32）,点C的坐标为（32,332）.(2)证明:因为OC=（32,332）,AB=（12,32）,所以OC=3AB,所以OCAB.因为BC=(-1,3),所以|BC|=2.因为|OC|AB|,|OA|=|BC|=2,所以四边形OABC为等腰梯形.19.(12分)在四边形A
8、BCD中,已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3),BCDA.(1)求x与y的解析式;(2)若ACBD,求x,y的值以及四边形ABCD的面积.解:如图所示.(1)因为AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),所以DA=-AD=(-x-4,2-y).因为BCDA,BC=(x,y),所以x(2-y)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.(2)由题意,得AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x-2,y-3).因为ACBD,所以ACBD=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.由(1)可知x=-2y,所以y2-2y-3=0,所以y=3或y=-1.
9、当y=3时,x=-6,此时,BC=(-6,3),AC=(0,4),BD=(-8,0),所以|AC|=4,|BD|=8,所以S四边形ABCD=12|AC|BD|=16.当y=-1时,x=2,此时,BC=(2,-1),AC=(8,0),BD=(0,-4).所以|AC|=8,|BD|=4,S四边形ABCD=16.综上可知x=-6,y=3或x=2,y=-1,S四边形ABCD=16.20.(12分)如图,某海轮以60 n mile/h的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60,向北航行40 min后到达点B,测得油井P在南偏东30,海轮改为沿北偏东60的航向再行驶80 min到达点C,求P,C间的距
10、离.解:由题意知AB=40 n mile,BAP=120,ABP=30,所以APB=30,所以AP=40 n mile,所以BP2=AB2+AP2-2APABcos 120=402+402-24040（-12）=4023,所以BP=403 n mile.因为PBC=90,BC=80 n mile,所以PC2=BP2+BC2=(403)2+802=11 200,所以PC=407 n mile,即P,C间的距离为407 n mile.21.(12分)在边长为1的菱形ABCD中,A=60,E是线段CD上一点,满足|CE|=2|DE|,如图所示,设AB=a,AD=b.(1)用a,b表示BE.(2)在线
11、段BC上是否存在一点F,满足AFBE?若存在,确定点F的位置,并求|AF|;若不存在,请说明理由.解:(1)根据题意,得BC=AD=b,CE=23CD=23BA=-23AB=-23a,所以BE=BC+CE=b-23a.(2)结论:在线段BC上存在使得4|BF|=|BC|的一点F,满足AFBE,此时|AF|=214.求解如下:设BF=tBC=tb,则FC=(1-t)b(0t1),所以AF=AB+BF=a+tb.因为在边长为1的菱形ABCD中,A=60,所以|a|=|b|=1,ab=|a|b|cos 60=12.因为AFBE,所以AFBE=(a+tb)（b-23a）=（1-23t）ab-23a2+
12、tb2=（1-23t）12-23+t=0,解得t=14,所以AF=a+14b,所以|AF|=AF2=a2+12ab+116b2=1+1212+116=214.22.(12分)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足sin A+3cos A=2.(1)求角A的大小.(2)现给出三个条件:a=2;B=4;c=3b.试从中选出两个可以确定ABC的条件,写出你的方案,并以此为依据求ABC的面积.(写出一种方案即可)解:(1)依题意,得2sin（A+3）=2,即sin（A+3）=1.因为0A,所以3A+343,所以A+3=2,所以A=6.(2)参考方案:选择.由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=22.因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2+64,所以SABC=12absin C=122222+64=3+1.
