1、3.2均值不等式1一个常用的均值不等式链设a0，b0，则有：mina，b maxa，b，当且仅当ab时，所有等号成立若ab0，则有：b 0，则2.3利用均值不等式求最值的法则均值不等式 (a，b为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab2，当且仅当ab时，等号成立(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即ab2，当且仅当ab时，等号成立注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：两个正数；两个正数的积或和为定值；取最值时，等号能成立概括为“一正、二定(值)、三相等”4函数f(x)x (k0)的单调性在求最值中的应用有些最值
2、问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)x (k0)的单调性加以解决利用函数单调性的定义可以证明函数f(x)x (k0)在(0，上单调递减，在，)上单调递增因为函数f(x)x (k0)是奇函数，所以f(x)x (k0)在(，上为增函数，在，易知g(t)在(0,1上为单调递减函数，所以当t1时，g(t)min6.即sin x1，x时，f(x)min6.一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察例1求函数y的最大值解设t，从而
3、xt22(t0)，则y.当t0时，y0；当t0时，y.当且仅当2t，即t时等号成立即当x时，ymax.二、利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题af(x)恒成立amax，af(x)恒成立a0得32x(k1)3x20，解得k13x，而3x2，k12，k2，求证：loga(a1)loga(a1)2，所以loga(a1)0，loga(a1)0.又loga(a1)loga(a1)，所以loga(a21)logaa21.所以loga(a1)loga(a1)1.四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求
4、最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围例4某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用(总费用建筑费用征地费用)解设建造这幢办公楼的楼层数为n，总费用为y元，当n1时，y2.5A2 388445A6 415A(元)，当n2时，y2.52 388445A3 430A(元)，当n3时，y2.52 388445(4
5、4530)(44560)6 00015nA400A2A400A1 000A(元)(当且仅当n20时取等号)即n20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元1忽略应用均值不等式的前提条件而致错例1求f(x)2log2x(0x1)的最值f(x)2log2x2222.f(x)min22.这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来0x1，log2x0，0，不能直接运用公式0x0，0.(log2x)2 2.log2x2.f(x)2log2x22.当且仅当log2x时，即x2时取等号f(x)max22.2忽略等号成立的条件而致错例2已知m2n2a，x2y
6、2b (a、b为大于0的常数且ab)，求mxny的最大值mx，ny，mxny.当且仅当mx，ny时取“”如果mx，ny，则会有m2n2x2y2ab，这与条件“ab”矛盾，如果mx，ny中有一个不成立，则“”取不到，则不满足使用均值不等式的条件利用三角代换可避免上述问题m2n2a，设 (因为x0，y0，且x2y1，(x2y)224.所以的最小值为4.上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式解题忽视了等号成立的一致性因为x0，y0，且x2y1，所以123232.当且仅当且x2y1，即x1，y1时，取得等号所以的最小值为32.例若正数a，b满足abab3，求ab的取值范围. 解方法一把代数式a
7、b转化为a(或b)的函数abab3，bb0，a1.ab(a1)5a1，a10，(a1)24.ab9，当且仅当a1，即a3，b3时，取“”方法二利用均值不等式ab2，把ab转化为ab，再求ab的范围ab2，abab323.ab230，(3)(1)0.3，ab9，从以上过程可以看出：当且仅当ab3时，取“”方法三把a，b视为一元二次方程x2(3ab)xab0的两个根，那么该方程应有两个正根所以有：其中由(3ab)24aba2b210ab9(ab9)(ab1)0，解得ab9或ab1.x1x2ab30，ab9.又abab3，ab6，当且仅当ab3时取“”1已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5解析ab2，1.()()()2(当且仅当，即b2a时，“”成立)，故y的最小值为.答案C2(2009天津)设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4 C1 D.解析由题意知3a3b3，即3ab3，所以ab1.因为a0，b0，所以(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立答案B赏析本题考查了等比中项的概念、均值不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到
