1、专题六解析几何第一讲直线与圆1 直线的方程(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解(4)求直线方程的主要方法是待定系数法在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想(5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两
2、条直线l1，l2斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1l2k1k2与l1l2k1k21.(7)在运用公式d求平行直线间的距离时，一定要把x，y项的系数化成相等的系数2 圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为(，)，半径为r；二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程1 (2013辽宁)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)
3、若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0答案C解析易知AOO(a，a3b)，且b0，a0，若A为直角，(0，b)(a，a3b)b(a3b)0，ba30，若B为直角，OA(a，a3)(a，a3b)0，a2a3(a3b)0，则ba30，故(ba3)0，选C.2 (2013山东)过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30答案A解析如图所示：由题意知：ABPC，kPC，kAB2，直线AB的方程为：y12(x1)，即2xy30.3 (2013课标全国)已知点A(1,0)，B
4、(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0,1) B.C. D.答案B解析由题意画出图形，如图(1)由图可知，直线BC的方程为xy1.由解得M.可求N(0，b)，D.直线yaxb将ABC分割为面积相等的两部分，SBDMSABC.又SBOCSABC，SCMNSODN，即b(1b).整理得.，1 ， 1，即b，可以看出，当a增大时，b也增大当a时，b，即b1.由上分析可知1b0、0、0，而用圆心到直线的距离dr，分别确定相交、相切、相离的位置关系(2)弦长L2，其中R为圆的半径，d为圆心到弦所在直线的距离变式训练3在平面直角坐标系xOy
5、中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A，B两点，且OAOB，求a的值解(1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3.所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a20.设x1，x2是方程的两根，从而x1x24a，x1x2.由于OAOB，可得x1x2y1y20，又y1x1a，
6、y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由得a1，满足0，故a1.典例(14分)已知圆C：(x1)2y28.(1)设点Q(x，y)是圆C上一点，求xy的取值范围；(2)在直线xy70上找一点P(m，n)，使得过该点所作圆C的切线段最短规范解答解(1)设xyt，因为Q(x，y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，2分即2，解得5t3，即xy的取值范围是5,36分(2)因为圆心C到直线xy70的距离d42r，9分所以直线与圆相离，因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为一定值；所以只有当过圆心向直线xy70作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即
7、为所求12分设过圆心作直线xy70的垂线为xyc0.又因为该线过圆心(1,0)，所以10c0，即c1，而xy70与xy10的交点为(3,4)，该点即为所求14分评分细则(1)xy的范围写成不等式或集合形式不扣分；(2)判断直线xy70和圆C相离即得1分；(3)只求出P点坐标，没有说明过程扣2分阅卷老师提醒(1)在求xy的最值时，设xyt，Q点在圆上转化为直线xyt和圆有交点，这是本题的关键(2)本题中体现的转化、化归思想是解题的灵魂：求xy的取值范围转化为求直线与圆的位置关系；直线与圆的位置关系转化为点到直线的距离与圆的半径之间的大小关系；点到直线的距离与圆的半径之间的大小关系转化为解不等式1
8、 (2012浙江)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若直线l1与l2平行，则a(a1)210，即a2或a1，所以“a1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件2 (2012陕西)已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()Al与C相交 Bl与C相切Cl与C相离 D以上三个选项均有可能答案A解析将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32024391230，点P(3,0)在圆内过点P的直线l定与圆C相交3 若ab0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取
9、值范围是()A. B.C. D.答案B解析kPQ0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为.4 若PQ是圆x2y29的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是()Ax2y30 Bx2y50C2xy40 D2xy0答案B解析直线PQ的斜率等于，方程为y2(x1)，即x2y50.5 若过点A(a，a)可作圆x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范围为_答案(，3)解析圆方程可化为(xa)2y232a，由已知可得，解得a3或1a0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为()A. B. C3 D.答案D解析由已知可得直线ax2by20过圆心(2,1)
10、，ab1.又a0，b0，(ab)(当且仅当b2a时取等号)2 已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为()A(x3)2y24 B(x1)2y24C(x1)2y24 D(x3)2y24答案A解析设圆心C(a,0)，a0，半径为r，则，解得a3，r24，圆C的方程为(x3)2y24.3 (2012安徽)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)答案C解析由题意知，圆心为(a,0)，半径r.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，即，|a1|2.3a1.4
11、 已知直线3x4y240与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是()A3 B4 C5 D6答案C解析取直线3x4y240与坐标轴的两个交点为A(8,0)，B(0,6)，由题知线段AB为圆的直径，且|AB|10，因此圆的半径为5.5 (2012福建)直线xy20与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A2 B2 C. D1答案B解析利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解圆心到直线xy20的距离d1，半径r2，弦长|AB|222.6 已知点M是直线3x4y20上的动点，点N为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|MN|的最小值是()A. B1 C. D.答案C解
12、析圆心(1，1)到点M的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点N到点M的距离的最小值为d1.7 由直线yx2上的点向圆(x4)2(y2)21引切线，则切线长的最小值为()A. B. C4 D.答案B解析设点M是直线yx2上一点，圆心为C(4，2)，则由点M向圆引的切线长等于，因此当CM取得最小值时，切线长也取得最小值，此时CM等于圆心C(4，2)到直线yx2的距离，即等于4，因此所求的切线长的最小值是.8 在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10 C15 D20答案B解析圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)
13、210，由圆的性质可知最长弦AC2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，设点F为其圆心，坐标为(1,3)故EF，BD22，S四边形ABCDACBD10.二、填空题9 已知直线l1与圆x2y22y0相切，且与直线l2：3x4y60平行，则直线l1的方程是_答案3x4y10或3x4y90解析依题意，设所求直线l1的方程是3x4yb0，则由直线l1与圆x2(y1)21相切，可得圆心(0，1)到直线3x4yb0的距离为1，即有1，解得b1或b9.因此，直线l1的方程是3x4y10或3x4y90.10已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_答案(x2)2y210解析设圆心坐
14、标为(a,0)，易知，解得a2，圆心为(2,0)，半径为，圆C的方程为(x2)2y210.11若直线axby1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是_答案解析直线axby1过点A(b，a)，abab1.ab.又OA，以O为圆心，OA为半径的圆的面积为SOA2(a2b2)2ab，面积的最小值为.12已知圆C：x2(y3)24，一动直线l过点A(1,0)与圆C相交于P、Q两点，M为PQ中点，l与直线x3y60相交于点N，则|AM|AN|_.答案5解析依题意，考虑直线l的特殊位置当直线lx轴时，l的方程为x1，l被圆截得的弦中点为M(1,3)，l与直线x3y60的交
15、点为N(1，)，所以|AM|AN|35.三、解答题13已知两直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0.求分别满足下列条件的a，b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10，即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40由得a2，b2.(2)l1l2，1a，b，故l1和l2的方程可分别表示为(a1)xy0，(a1)xy0，又原点到l1与l2的距离相等4，a2或a，a2，b2或a，b2.14已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得
16、的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解(1)如图所示，|AB|4，将圆C方程化为标准方程为(x2)2(y6)216，圆C的圆心坐标为(2,6)，半径r4，设D是线段AB的中点，则CDAB，|AD|2，|AC|4.C点坐标为(2,6)在RtACD中，可得|CD|2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2，得k.故直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.
