1、第三讲平面向量1向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量b在向量a方向上的投影2向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律ab运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a
2、b|a|b|cos a，b3两非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ababx1y2x2y10.abab0x1x2y1y20.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆1 (2013福建)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10答案C解析因为0，ACBD.四边形ABCD的面积S|25.2 (2013湖北)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C. D答案A解析(2,1)，(5,5)，在方向上的投影为.3 (2013北京)向量a，b，c在正方形网
3、格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.答案4解析以向量a和b的交点为原点建立直角坐标系，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根据cab(1，3)(1,1)(6,2)有61，23，解之得2且，故4.4 (2013天津)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_答案解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.5 (2012江苏)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_答案解析方法一坐标法以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建
4、立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，(，0)(x,2)x.又，x1.(1，2)(，1)(1，2)22.方法二用，表示，是关键设x，则(x1).()(x)x22x，又，2x，x.()2224.题型一向量的概念及线性运算例1(1)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)，且ab，则tan等于()A3 B. C3 D(2)已知|1，|，0，点C在AOB内，且AOC30，设mn (m，nR)，则_.审题破题(1)直接根据向量共线的坐标表示求tan ，再用差角公式求tan；(2)寻找点C满足的条件答案(1)C(2)3解
5、析(1)ab，cos 2sin .tan ，tan3.(2)方法一|1，|，0，不妨假设点C在AB上，且AOC30.以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A点坐标为(1,0)，B点坐标为(0，)，C点坐标为，mn (m，nR)，所以存在m，n使假设成立，此时3.方法二由条件|1，|，0，可建立以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴的直角坐标系，则(1,0)，(0，)由mn，得(m，n)又因为AOC30，点C在AOB内，可得tan 30，即3.反思归纳向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理平面向量基本定理是平面内任意一个向
6、量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a，b不共线，那么1a2b1a2b的充要条件是11且22.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果xy，则A，B，C三点共线的充要条件是xy1.变式训练1如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n (m，n0)，则的最小值为()A2 B4C. D9答案C解析.同理，M，O，N三点共线，故，即0，由于，不共线，根据平面向量基本定理0且0，消掉即得mn2，故(mn)(54).题型二平面向量的数量积例2(1)已知向量a和b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5
7、ab|_.(2)(2012上海)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_审题破题(1)利用公式|a|2aa直接计算；(2)利用基向量法，把，都用，表示，再求数量积答案(1)7(2)1,4解析(1)|5ab|2(5ab)225a210abb2251210133249，所以|5ab|7.(2)如图所示，设(01)，则，(1)，()()()(1)(1)4(1)43，当0时，取得最大值4；当1时，取得最小值1.1,4反思归纳向量的数量积计算有三种方法：(1)利用向量数量积的定义，计算两个向量的模及夹角；(2)根据向量数量积的几何意义，明
8、确向量投影的含义；(3)建立坐标系写出向量坐标，利用向量的坐标进行运算变式训练2(1)(2012天津)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若2，则_.答案解析由题意知(1)，且0，故(1)224(1)342，即.(2)(2013山东)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若A，且，则实数的值为_答案解析由知0，即()()(1)A22(1)32940，解得.题型三平面向量与三角函数的综合例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2
9、)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值审题破题求解本题的关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题(1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值注意利用换元法令tsin xcos x时，要确定t的取值范围(2)由夹角公式及ac可得关于角的三角函数等式，通过三角恒等变换可得结果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(
10、sin xcos x)令tsin xcos x ，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，当t时，ymin，此时sin xcos x.即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.反思归纳在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数
11、式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题变式训练3(2013辽宁)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解(1)由|a|2(sin x)2sin2x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2 x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2x
12、cos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.典例(1)设向量a，b，c满足|a|b|1，ab，ac，bc60，则|c|的最大值等于()A2 B. C. D1(2)(2012天津)已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R.若，则等于()A. B. C. D.解析(1)如图，设a，b，c，则ac，bc.|a|b|1，OAOB1.又ab，|a|b|cosAOB，cosAOB.AOB120.又ac，bc60，而12060180，O、A、C、B四点共圆当OC为圆的直径时，|c|最大，此时OACOBC90，RtAOCRtBOC，ACOBCO30，|，|2|2.(
13、2)()()(1)()，所以42410.所以.答案(1)A(2)A得分技巧(1)解决本题关键是将向量a，b，c的起点移至同一点C，得到四点A、O、B、C共圆(2)向量坐标化，利用向量的坐标运算是解题的突破点阅卷老师提醒(1)树立数形结合意识、向量是数形结合的载体，充分挖掘条件的几何意义(2)拓宽思维层面，对向量的数量积运算的三种方法要灵活运用1 ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，0且|，则向量在上的投影的长度为()A. B3 C D3答案A解析由0，得.又O为ABC外接圆的圆心，OBOC，四边形ABOC为菱形，AOBC.由|2，知AOC为等边三角形故在上的投影的长度为|2cos .2 如图，
14、ABC中，C90，且ACBC3，点M满足2，则()A2 B3C4 D6答案B解析()22()23.3 (2013浙江)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90 BBAC90CABAC DACBC答案D解析设BC中点为M，则2222同理22恒成立，|恒成立即P0MAB，取AB的中点N，又P0BAB，则CNAB，ACBC.故选D.4 已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.答案3解析a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.5 (2013课标全国)已知两个
15、单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.答案2解析cta(1t)b，cbtab(1t)b2t11cos 60(1t)12t1t1t0.t2.6 (2013浙江)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_答案2解析当x0时，0；当x0时，|b|2(xe1ye2)2x2y22xye1e2x2y2xy. 2.由知的最大值为2.专题限时规范训练一、选择题1 (2012四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|答案C解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位
16、向量，只要a与b同向，就有，观察选项易知C满足题意2 (2013辽宁)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量A同方向的单位向量为()A. B.C. D.答案A解析AOO(4，1)(1,3)(3，4)，与A同方向的单位向量为.3 已知a，b是平面向量，若a(a2b)，b(b2a)，则a与b的夹角是()A. B. C. D.答案B解析由a(a2b)得|a|22ab，由b(b2a)得|b|22ab，cosa，b，a，b.4 设向量a(1，sin )，b(3sin ，1)，且ab，则cos 2等于()A B C. D.答案D解析ab，3sin21，cos 212sin21.5 等腰直角三角形ABC
17、中，A，ABAC2，M是BC的中点，P点在ABC内部或其边界上运动，则的取值范围是()A1,0 B1,2C2，1 D2,0答案D解析以点A为坐标原点，射线AB，AC分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(2,0)，M(1,1)设P(x，y)，由于点P在ABC内部或其边界上运动，故x0，y0且xy2，(x2，y)(1,1)x2y，所以的取值范围是2,06 如图，已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则()()的值为()A. BC. D答案D解析点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，|，AOBBOCAOC，()()2232cos .7 已知(2,0)，(2,2)，(cos ，si
18、n )，则与夹角的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析(2cos ，2sin )，设A(x，y)，则其中是参数，消掉，即(x2)2(y2)22，这是一个以点(2,2)为圆心、为半径的圆，作出图象如图所示，从图中可知两向量，夹角的取值范围是.8 在ABC中，E、F分别为AB、AC的中点P为EF上任一点，实数x，y满足xy0.设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记1，2，3，则23取最大值时，2xy的值为()A1 B1 C D.答案D解析由题意知1，即S1S.所以S2S3SS1S，两边同除以S，得，即23，所以232，所以23，当且仅当23，此时点P位于EF的
19、中点，延长AP交BC于D，则D为中点，由xy0，得xy，()，所以x，y，所以2xy，选D.二、填空题9 (2012浙江)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.答案16解析利用向量数量积的运算求解如图所示，()()22|2|292516.10(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析如图，()，则1，2，12.11(2013四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.答案2解析由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，2，2.12(2012安徽)若平面向量a，b满足|2a
20、b|3，则ab的最小值是_答案解析由向量减法的三角形法则知，当a与b共线且反向时，|2ab|的最大值为3.此时设ab(0)，则有|2ab|2bb|3，|b|，|a|.又由ab|a|b|cosa，b，知当a与b共线且反向时，ab最小有：ab|a|b|cos ，ab的最小值为.三、解答题13在ABC中，已知2|32，求角A、B、C的大小解设BCa，ACb，ABc.由2|得2bccos Abc，所以cos A.又A(0，)，因此A.由|32，得cba2.于是sin Csin Bsin2A.所以sin Csin，sin C，因此2sin Ccos C2sin2 C，sin 2Ccos 2C0，即2si
21、n0.由A知0C，所以2C，从而2C0，或2C，即C或C，故A，B，C，或A，B，C.14已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围解(1)mnsin cos cos2sin sin，mn1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A0.cos B，0B，B.0A.，sin.又f(x)sin.f(A)sin.故函数f(A)的取值范围是.
