1、第7讲 立体几何中的向量方法()求空间角一、填空题1. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是_解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案异面垂直2在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可
2、知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，所以sin，.答案3在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案4已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD_.解析如图，建立直角坐标系Dxyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案5在正方体ABCDA1B1C1D1
3、中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为_解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件G，B，E，F，cos，0，则.答案906正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC的夹角为906030.答案307.
4、 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为_解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则MC，MP .由MPMC得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线yx的一部分答案8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为_解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)设，可得：P(，)
5、再由cos APC可求得当时，APC最大故VPABC11.答案9已知P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.答案9010已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系Dxyz，设DA1由已知条件A(1,0,0)，E，F
6、，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为由令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面ABC的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案二、解答题11. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是棱CC1的中点(1)求证：A1BAM；(2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值解(1)C1C平面ABC，BCAC，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则B(0,1,0)，A1(，0，)，A(，0,0)，M.(，1，)，3030，.即A1BAM.(2)由(1)，知(，1,0)
7、，(0,0，)，设平面AA1B1B的法向量为n(x，y，z)，则不妨取n(，3,0)设直线AM与平面AA1B1B所成角为.sin |cos，n|.12. 如图，已知正三棱柱ABC vA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE2，BF.(1)求证：CFC1E；(2)求二面角ECFC1的大小解建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则由已知可得A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，3)，E(0,0，2)，F(，1，)(1)证明(0，2，)，(，1，)0220，所以CFC1E.(2)解(0，2,2)，设平面CEF的一个法向量为m(
8、x，y，z)，由m，m，得即解得可取m(0，1)，设侧面BC1的一个法向量为n，由n，n，及(，1,0)，(0,0,3)，可取n(1，0)设二面角ECFC1的大小为，于是由为锐角可得cos ，所以45.即所求二面角ECFC1的大小为45.13. 如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，即|cos，可得2m.
9、解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为30.14如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0)0，0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD面PAC.(2)解设平面ABD的法向量为m(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.(2，0,3)，解得令x，则n(，3,2)，cosm，n.二面角PBDA的大小为60.
