1、第四节 平面向量应用举例【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)向量在平面几何中的应用:问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 ab_ _ 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)a=b(b0)x1y2-x2y1=0 问题类型 所用知识 公式表示 垂直问题 数量积的运算性质 ab_,a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a,b为非零向量 夹角问题 数量积的 定义 cos =_(为向量a,b的夹角)长度问题 数量积的 定义|a|=_=_，其中a=(x,y)ab=0 x1x2+y1y2=0|a ba b2a22xy(2)向量在三角函数中的应用:以向量为载体
2、利用向量的共线、垂直、数量积等的坐标运算,转化成 三角函数问题,以解决三角函数中的图象、性质等问题.(3)向量在物理中的应用:由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成和向 量的减法和加法相似,可以用向量的知识来解决.物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=_=_(为F与s的夹角).Fs|F|s|cos 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)在ABC中,D是BC的中点,则 =_.(2)在ABC中,若 =0,则点O是ABC的_.3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:向量法、坐标法.(2)数学思想:数形结合、函数与方程、转化与化归思想.ABAC2ADOAOBOC重心
3、【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)在四边形ABCD中,若 则四边形为平行四边形.()(2)a,b是非零向量,若|a+b|=|a-b|,则ab.()(3)在ABC中,若 0,则ABC为钝角三角形.()(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为 ,且|F1|=3,|F2|=5,则 F1+F2大小为 .()ABDC，AB BC2319【解析】(1)正确.在四边形ABCD中,由 可得AB=DC且ABCD.由平行四边形定义可知ABCD为平行四边形.(2)正确.由|a+b|=|a-b|得ab=0,从而ab.(3)错误.由 0可知在ABC中B的补角为钝角可判断B为 锐角,而无法得出ABC为钝
4、角三角形.ABDCAB BC(4)正确.由已知可得|F1+F2|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos=9+25-235 =19,所以|F1+F2|=.答案:(1)(2)(3)(4)2312192.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修4P113A组T1改编)已知点A(1,0),抛物线y2=4x,点Q是抛物线 上的一点,若 则点P的轨迹方程为 .QA2AP,【解析】设Q(x0,y0),P(x,y),由 得(1-x0,-y0)=2(x-1,y),即 又(x0,y0)满足y2=4x,故4y2=4(3-2x),即y2=3-2x.答案:y2=3-2x QA2AP00 x32x,y2y,(2
5、)(必修4P113A组T4改编)O为ABC的重心.若OA=1,OB=,AOB=,则OC=.【解析】因为O为ABC的重心,所以 =0,即 所以 所以|=+1.答案:1+6224OAOBOCOCOAOB,222OCOAOB2OA OB1 233 142 3,OC333.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014上海高考)如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方 形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,7)是小正方形的其余顶点,则 (i=1,2,7)的不同值的个数为()A.7 B.5 C.3 D.2 iAB AP【解析】选C.当Pi取P2,P5时,=0,当Pi取P1,P3,P6时,当Pi取P
6、4,P7时,所以取值共有三个.iAB AP1iiiii|AP|AB AP|AB|AP|cos BAP|AB|AP|AP|1|AB|AP|2,2iiiii|AB|AB AP|AB|AP|cos BAP|AB|AP|AB|4.|AP|(2)(2013福建高考)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则 该四边形的面积为()A.B.2 C.5 D.10【解析】选C.因为 =0,所以AC,BD是互相垂直的对角线,所以 S=BDAC55AC BD11AC BD5 2 5522(3)(2015济南模拟)已知ABC中，三边长为AB=2，BC=1，AC=，则 =.【解析】如图，因为AB2=BC2+A
7、C2,所以C=90,A=30,B=60,所以 答案：-4 3AB BCBC CACA ABAB BCBC CACA ABAB BCCA02AB BAAB4.(4)(2015安庆模拟)已知a=(cos,sin),b=(,-1),f()=ab,则f()的最大值为 .【解析】f()=ab=cos-sin=2(cos-sin)=2cos(+),故当=2k-(kZ)时,f()max=2.答案:2 33321266考点1 向量在平面几何中的应用【典例1】(1)(2013浙江高考)设ABC,P0是边AB上一定点,满足 P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有 则()A.ABC=90 B.BAC=90 C.
8、AB=AC D.AC=BC 1400PB PCP B P C，(2)(2013天津高考)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD 的中点.若 则AB的长为 .AC BE1,【解题提示】(1)利用坐标运算,建立平面直角坐标系,设出点的坐标,利用已知求解.(2)根据题意,选取 当基底,根据向量的加法及平面向量基本 定理由 表示 由 列方程求AB的长,或建系用 向量的坐标运算求AB的长.AC BE1AB AD，AB AD，AC BE，【规范解答】(1)选D.设AB=4,以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立坐标系,则A(-2,0),B(2,0),P0(1,0),设点C(a,
9、b),动点P(x,0),所以 由 恒成立,00P B1,0,P Ca1,b,PB2x,0,PCax,b,00PB PCP B P C得(2-x)(a-x)a-1,即x2-(2+a)x+a+10恒成立.所以=(2+a)2-4(a+1)=a20,则a=0.因此点C在线段AB的中垂线上,故 ACBC.(2)因为 所以 =1,所以 解得 答案:1ACABAD,BEBAADDEABADAB21ADAB,21AC BEABAD(ADAB)22211ADAD ABAB2221111|AB|cos 60|AB|22 211|AB|AB|0,421|AB|.212【一题多解】解答本题你还有其他解法吗?【解析】如
10、图,以A为原点,AD所在直线为x轴建立 直角坐标系,则A(0,0),D(1,0),设AB的长为a,则 因为E是CD的中点,所以 所以 即2a2-a=0,解得a=或a=0(舍去).故AB 的长为 .a3a3B(a)C(1a)2222，a3E(1a)44，a3a3AC(1a)BE(1a)2244，2aa3AC BE(1)(1)a1248，1212【互动探究】本例(2)中其他条件不变,若AB=,试求 的值.【解析】如图,令 =a,=b,则|a|=,|b|=1,a与b的夹角为60,=a+b,因为E是CD的中点,所以 故 12AC BEABAD12AC11BEBCCE()22，baba1AC BE()2
11、abab2211111 1 cos 601 1.22822 aa bb【规律方法】向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.提醒:用坐标法解题时,建立适当的坐标系是解题的关键,用基向量解题时要选择适当的基底.【变式训练】(2015临沂模拟)在平行四边形ABCD中,=(cos18,cos72),=(2cos63,2cos27),则四边形ABCD的面积为()【解题提示】因为SAB
12、CD=2SABC,故可先求SABC.BCAB232A.B.2 C.D.422【解析】选B.由 =(cos18,cos72)得 =(-cos18,-sin18).又 =(2sin27,2cos27),故|=1,|=2,且cosABC=BCABBABABA BC2sin 27 cos 182cos 27 sin 182 sin 451 21 2BA BC 2.2 BC又0ABC,所以sinABC=,所以SABC=所以SABCD=2SABC=2 =.221122BA BC sin ABC1 22222 ，222【加固训练】1.在ABC中,若 则ABC的形状为 ()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.
13、等腰直角三角形 D.不能确定【解析】选B.根据向量加法的平行四边形法则可知|等于 AC边上的中线的二倍,所以由 知AC边的中线长等于AC 长度的一半,所以ABC为直角三角形.BABCAC,BABCBABCAC2.(2014沧州模拟)平面上O,A,B三点不共线,设 =a,=b,则 OAB的面积等于()OAOB222222222222A.()B.()1C.()21D.()2aba baba baba baba b【解析】选C.由条件得cos=所以sin=所以SOAB=|a|b|sin,a ba b21 cos,a b222()1()1,|a ba ba ba b122222222221()12|1
14、()()()2|1().2a ba ba ba ba ba ba baba b考点2 向量在三角函数中的应用 知考情 利用向量的共线与垂直和向量数量积之间的关系建立三角方程,或三角函数式,从而解决三角函数中的求值、求角及求最值问题,是高考考查热点,以选择题、填空题或解答题的形式出现.明角度 命题角度1:利用向量数量积求三角函数的值【典例2】(2015济宁模拟)设a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0 )是平面上两个向量,若ab=,且tan=,则tan=.【解题提示】利用已知转化为一个角的三角函数,再利用同角三角函 数基本关系及两角和的正切公式求解.24543【规范解答】ab=cos
15、cos+sinsin=cos(-)=,因为0 ,所以-0,所以sin(-)=-,tan(-)=-.所以tan=tan(-)+=所以tan=.答案:45223534tan()tan1tan()tan 34743.34241()43 724724命题角度2:利用向量求角的大小【典例3】(2013江苏高考改编)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),0 .若c=(0,1),且a+b=c,则=,=.【解题提示】利用向量相等列出关于,的方程,由三角函数变换求 解.【规范解答】因为a+b=(cos+cos,sin+sin)=(0,1),所以 由(1)得,cos=cos(-),由0,得0-,又0
16、,所以=,=.答案:coscos0,(1)sinsin1,(2)12566566悟技法 利用向量求解三角函数问题的一般思路(1)求三角函数值,一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式.利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解.(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题,先求值再求角.(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.通一类 1.(2015日照模拟)已知向量a=(sin,2)与向量b=(cos,1)平行,则tan2 的值为 .【解析】因为向量a=(sin,2)与b=(cos,1)平行,所以sin-2cos=
17、0,即tan=2,故tan2=答案:22tan44.1tan1 43 432.(2015汕头模拟)若向量a=(,sin),b=(cos,),且ab,则 锐角 的大小是 .【解析】因为ab,所以 -sincos=0,所以sin2=1,又 为锐角,故=.答案:13323213443.(2015淮南模拟)如图,A,B是单位圆上的动点,C是单位圆与x轴的正半轴的交点,且AOB=,记COA=,(0,),AOC的面积为S.(1)若f()=+2S,试求f()的最大值以及此时 的值.(2)当A点坐标为 时,求|2的值.6OB OC3 4()5 5，BC【解析】(1)S=则f()=因为(0,),故=时,f()m
18、ax=1.1 sinOB(cos(),sin(),OC1,0.266，OB OC2Scos()sinsin(),63 6(2)依题cos=-,sin=,在BOC中,BOC=+.由余弦定理得:|2=1+1-211cos(+)=45356BC6143 323cossin.5 考点3 向量在解析几何中的应用【典例4】(1)(2015绵阳模拟)已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐 标平面内一动点,且 =0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.6 MN MPMN NP(2)(2015大连模拟)已知椭圆方程为 =1,点A(1,1),M为椭圆 上任
19、意一点,动点N满足 则N点的轨迹方程为 .22xy259AN2AM，【解题提示】(1)利用已知求P点的轨迹方程,再利用几何意义求解.(2)设出动点N的坐标和M点坐标,利用已知条件,由代入法可得N点轨迹方程.【规范解答】(1)选B.因为M(-3,0),N(3,0),所以 =(6,0),|=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由 =0得 +6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到点M的距离的最小值就是 原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3.MNMNMPNPMN MPMN NP226x3y(2)设M(x1,y1),N(x,y),则由已知得(
20、x-1,y-1)=2(x1-1,y1-1),即 得 因为M点在椭圆上,故M点坐标满足方程.所以 =1.答案:=1 11x12x2,y12y2,11x1x2y1y.2，22x1y11003622x1y110036【规律方法】向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用abab=0(a,b为非零向量),aba=b(b 0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于 解决解析几何中的垂
21、直、平行问题是一种比较优越的方法.【变式训练】(2015福州模拟)已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q,且 =0,则点P的轨迹方程是 .11(PCPQ)(PCPQ)22【解析】设P(x,y),则Q(8,y),由 =0,得|2-|2=0,即(x-2)2+y2-(x-8)2=0,化简得 =1.答案:=1 11(PCPQ)(PCPQ)22PCPQ1422xy161222xy161214【加固训练】1.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足 =4,则点P的轨迹方程是 .【解析】因为定点A(1,2)与动点P(x,y)满足 =4,
22、所以(x,y)(1,2)=4,即x+2y-4=0.答案:x+2y-4=0 OP OAOP OA2.(2014兰州模拟)已知点P(0,-3),点A在x轴上,点Q在y轴的正半轴 上,点M满足 当点A在x轴上移动时.(1)求动点M的轨迹方程.(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的一条直径,求 的取值范围.3PA AM0,AMMQ2，ME MF【解析】(1)设M(x,y)为所求轨迹上任一点,设A(a,0),Q(0,b)(b0),则 =(a,3),=(x-a,y),=(-x,b-y),由 =0,得a(x-a)+3y=0.由 得(x-a,y)=-(-x,b-y)=(x,(y-b),PAAMMQPA
23、AM3AMMQ2，323232所以 所以 把a=代入,得 整理得y=x2(x0).3xax,233yyb,22 xa,2yb.3 x2xx(x)3y0,2214(2)因为 所以 =x2+(y-1)2-1=y2+2y=(y+1)2-1.因为y0,所以(y+1)2-10,故 的取值范围为(0,+).MEMNNE,MFMNNF,NENF又，0 ME MFMNNEMNNFMNNEMNNE22MNNEME MF规范解答6 平面向量与三角函数相结合的综合问题【典例】(12分)(2014山东高考)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=ab,且y=f(x)的图象过点 和点(,3
24、)122(,2).3(1)求m,n的值.(2)将y=f(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调增区间.解题导思 研读信息 快速破题 规范解答 阅卷标准 体会规范(1)已知f(x)=ab=msin 2x+ncos 2x，因为f(x)过点 所以 3分 所以 解得 4分 2(,3),(,2)123 ，f()msinncos31266，244f()msinncos2333 ，13mn32231mn222，m3n1.，(2)f(x)=6分 f(x)左移个单位后得到 8分 设g(x)的对称轴为x=x0
25、，因为d=1，解得x0=0，所以g(0)=2，解得=，所以g(x)=10分 3sin 2xcos 2x2sin(2x)6，g x2sin(2x2)6，201x2sin(2x)2sin(2x)2cos 2x.3626由-+2k2x2k,kZ，得-+kxk,kZ，所以g(x)的单调增区间为-+k,k,kZ.12分 22高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.规范的解题思路 解答综合性问题,清晰准确的解题思路是得分的关键,不要 走弯走偏,如本例要清晰体现:用数量积求f(x);平移变换求g(x);求g(x)单调区间的步骤.2.规范的解题步骤 解题过程既要有体现关键点的关键步骤,也要有承上启下的辅助步骤,如本题忽视结论至少扣1分.
