1、和平区2017-2018学年度第一学期高二年级数学（理）学科期末质量调查试卷第卷 选择题（共24分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2.在空间直角坐标系中，已知 ， ，则 （ ）A B . C D 3.已知双曲线的一个焦点坐标为，且经点 ，则双曲线的标准方程为（ ） A B C D 4.若双曲线 （ ）的离心力为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C. D 5.已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则椭圆
2、的离心率为（ ）A B C. D 6.已知向量 ， ，分别是直线 、 的方向向量，若 ，则（ ）A ， B ， C. ， D ， 7.如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A B C. D 8.已知椭圆 ： （ ），点 ， 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点 ，使 ，则离心率 的取值范围为（ ）A B C. D 第卷 非选择题（共76分）二、填空题（每题6分，满分24分，将答案填在答题纸上）9.若双曲线 （ ）的左焦点在抛物线 的准线上，则 10.已知斜率为 的直线经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆相交于 、 两点，则 的长为 11.已知抛物线 的焦点为 ，准线为直线 ，过抛物线上
3、一点， 作 于 ，若直线 的倾斜角为 ，则 12.空间四边形 ， ， ，则 的值为 13.设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于 14.已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为、 ，过 的直线交双曲线右志于 ， 两点，且 ，若 ，则双曲线的离心率为 三、解答题 （本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知平面上的三点 、 、 .（1）求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程；（2）设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.16.已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在抛物线
4、 上，且 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点.（1）求抛物线 的方程；（2）求 的面积.17. 如图，三棱柱 中，侧棱于底面垂直， ， ， ， 分别是 ， 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 .18. 已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， 为椭圆 上位于第一象限内的一点.（1）若点 的坐标为 ，求椭圆 的标准方程；（2）设 为椭圆 的左顶点， 为椭圆 上一点，且 ，求直线 的斜率.19. 如图，在四棱锥 中， 平面，四边形是直角梯形， ， ， .（1）求二面角 的余弦值； （2）设 是棱 上一点， 是 的中点，若 与平面所成角的正弦值为 ，求线段 的长.和平区2017-
5、2018学年度第一学期期末质量调查高二年级数学（理）学科试卷参考答案及评分标准一、选择题1-5:CBACB 6-8:DCA二、填空题9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题15.（1）解：由题意知，焦点在 轴上，可设椭圆的标准方程为 （ ）其半焦距 由椭圆定义得 故椭圆的标准方程为 .（2）解：点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 .设所求双曲线的标准方程为 （ ， ）其半焦距 ，由双曲线定义得 ， ，故所求的双曲线的标准方程为 .16.（1）解： 在抛物线 上，且 ，由抛物线定义得， 所求抛物线 的方程为 .（2）解：由 消去 ，并整理得， ，设 ， ，则 ，由（1）
6、知 直线 过抛物线 的焦点 ， 又点 到直线 的距离 ， 的面积 .17.（1）证明：依题意， ， ，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 则由已知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，易知 ， 平面 .（2）证明：连接 ，由（1）得， ， ，设平面 的一个法向量为 则， 由 取 ，得 ，平面 的一个法向量为 此时， 故 平面 . 18.（1）解法1：椭圆 的离心率为 ，即 又点. 在椭圆 上， 由解得 ， ，所求椭圆 的 方程为 解法2：由题意得， ， 设 ， （ ）则 ，将点 代入得， ，解得 ， 所求椭圆 的方程为 （2）解法1：
7、由（1）可知 椭圆 的方程为 即 ，有 ，设 ， 由 得， ， 点 ，点 都在椭圆 ： 上， 解得 ， ，直线 的斜率 解法2：由（1）可知 ，即 椭圆 的方程为 ，即 ，有 ， 设直线 的方程为 （ ）， ， 由 消去 并整理得， ， ， ，于是设直线 的方程为（ ）由 消去 并整理得， 解得 或 （舍去）于是，得 又 于是 ，即 即 （ ）解得 直线 的斜率为 19.（1）解：以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则由已知可得， ， ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，由， 得， ， 有 解得 取 ，得 ， ， 平面 取平面 的一个法向量为 ，设二面角 的大小为 ， 由图可知，二面角 为锐角二面角，二面角 的余弦值为 （2）解：由（1）知， ， 设 （ ），则 ， ，易知 平面 ， 是平面 的一个法向量.设与平面 所成的角为 ，则 ，即 解得 或 （舍去） ， 即线段 的长为
