1、第3讲平面向量1(2015福建改编)设a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，则实数k的值等于_2(2015四川改编)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则_.3(2015江苏)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_4(2014湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、
2、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一平面向量的线性运算1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量例1(1)(2014陕西)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.(2)如图，在ABC中，AFAB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若a，b，且xayb，则xy_.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理
3、的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系跟踪演练1(1)(2015黄冈中学期中)已知向量i与j不共线，且imj，nij，m1，若A，B，D三点共线，则mn_.(2)(2015北京)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.热点二平面向量的数量积1数量积的定义：ab|a|b|cos .2三个结论(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .例2(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_(2)在AOB中，G为AOB的重心，且A
4、OB60，若6，则|的最小值是_思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算跟踪演练2(1)(2015山东)过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_.(2)(2014课标全国)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin
5、 x2sin ，cos x2cos )，其中0xc，已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值1如图，在ABC中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设a，b，用a，b表示向量.则等于_2如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则_.3已知向量a(1,2)，b(cos ，sin )，且ab，则tan(2)_.4如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则最小值是_提醒：完成作业专题三第3讲二轮专题强化练第3讲平面向量A组专题通关1(2015徐州月考)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(
6、1,3)，则_.2在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN边上的一点，若m，则实数m的值为_3ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足()，|，则向量在方向上的投影等于_. 4(2015湖北)已知向量，|3，则_.5(2015福建改编)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于_6若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比值为_7(2015天津)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_8设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向
7、量m(2，)，n(，0)，点P(x，y)在ysin x的图象上运动，Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是_9(2015无锡模拟)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值10已知向量a(2sin(x)，0)，b(2cos x,3)(0)，函数f(x)ab的图象与直线y2的相邻两个交点之间的距离为.(1)求的值；(2)求函数f(x)在0,2上的单调递增区间B组能力提高11已知非零单位向量a与非零向量b满足|ab|ab|，则向量ba在向量a上的投
8、影为_12已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是_13(2015江苏)设向量ak(k0,1,2，12)，则(akak1)的值为_14(2014陕西)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值学生用书答案精析第3讲平面向量高考真题体验1解析cakb(1,2)k(1,1)(1k,2k)，bc，bc0，bc(1,1)(1k,2k)1k2k32k0，k.29解析，(43)(43)(16292)(1662942)9
9、.33解析a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.4.1解析设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.热点分类突破例1(1)(2)解析(1)因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为00，得2sin cos ，tan .(2)如图，设FB的中点为M，连结MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF
10、.因为AFAB，所以F为AM的中点，E为AD的中点方法一因为a，b，D为BC的中点，所以(ab)所以(ab)所以b(ab)ab.所以x，y，所以xy.方法二易得EFMD，MDCF，所以EFCF，所以CECF.因为ba，所以(ba)ab.所以x，y，则xy.跟踪演练1(1)1(2)解析(1)因为A，B，D三点共线，所以imj(nij)，m1，又向量i与j不共线，所以所以mn1.(2)如图，()，x，y.例2(1)22(2)2解析(1)由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22.(2)如图，在AOB中，()()，又|cos 606，|12，|2()2(|2|22)
11、(|2|212)(2|12)364(当且仅当|时取等号)|2，故|的最小值是2.跟踪演练2(1)(2)90解析(1)由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，P(1，)，PAx轴，PAPB.POA为直角三角形，其中OA1，AP，则OP2，OPA30，APB60.|cosAPBcos 60.(2)()，点O是ABC中边BC的中点，BC为直径，根据圆的几何性质有，90.例3解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos
12、x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0xc，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B.因为abc，所以C为锐角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.高考押题精练1.(ab)解析因为DEBC，所以DNBM，则ANDAMB，所以.因为，所以.因为M为BC的中点，所以()(a
13、b)，所以(ab)2解析2，圆O的半径为1，|，()()2()()201.3解析因为a(1,2)，b(cos ，sin )，且ab，所以cos 2sin 0，则tan .所以tan 2.所以tan(2).4解析因为，所以()()2.又因为AOB60，OAOB，OBA60.OB1.所以|cos 120|.所以|2(|)2.故当且仅当|时，最小值是.二轮专题强化练答案精析第3讲平面向量1(1,1)解析(2,4)(1,3)(1,1)2.解析如图，因为，所以，mm，因为B，P，N三点共线，所以m1，所以m.3.解析由()可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|，又因为|1，故OAC为等边三角形
14、，即AOC60，由圆周角定理可知ABC30，且|，所以在方向上的投影为|cos ABCcos 30. 49解析因为，所以0.所以()2|20329.5.13解析建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，(1，t4)1717213.6.解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.如图所示，故C，M，D三点共线，且，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比值为.7.解析在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB2，BC1，ABC60，CD1，21cos 6021cos 60cos 120.8.解析设Q(c，d)，由新的
15、运算可得mn(2x，sin x)(，0)(2x，sin x)，由消去x得dsin(c)，所以yf(x)sin(x)，易知yf(x)的值域是.9解(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x0，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin(2x)，当x0，时，sin(2x)取最大值1.所以f(x)的最大值为.10解(1)因为向量a(2sin(x)，0)，b(2cos x,3)(0)，所以函数f(x)ab4sin(x)cos x4sin x()
16、cos xcos x2cos2x2sin xcos x(1cos 2x)sin 2x2cos(2x)，由题意，可知f(x)的最小正周期为T，所以，即1.(2)易知f(x)2cos(2x)，当x0,2时，2x，4，故2x，2或2x3，4时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为，和，111解析因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，解得ab0，所以向量ba在向量a上的投影为|ba|cosa，ba|a|1.121，1解析ab0，且a，b是单位向量，|a|b|1.又|cab|2c22c(ab)2aba2b21，2c(ab)c21.|a|b|1且ab0，|ab|，c212|c|cos (是c与ab的夹角)又1cos 1，0c212|c|，c22|c|10，1|c|1.139解析ak，akak1coscoscoscossin.故(akak1)ososin.由os0，in0，得(akak1)cos129.14解(1)方法一0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，解得即(2,2)，故|2.方法二0，则()()()0，()(2,2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n,2mn)，两式相减得，mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.
