1、第2讲概率1(2015广东改编)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为_2(2015课标全国改编)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_3(2015湖北改编)在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“|xy|”的概率，p3为事件“xy”的概率，则p1，p2，p3的大小关系为_4(2014浙江改编)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中
2、随机抽取i(i1,2)个球放入甲盒中(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1,2)；(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1,2)则E(1)，E(2)的大小关系是_1.以填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；2.二项分布的应用是考查的热点；3.以解答题形式考查离散型随机变量的概率分布，属于中档题目.热点一古典概型和几何概型1古典概型的概率P(A).2几何概型的概率P(A).例1(1)(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_(2)已知P是ABC所在平面
3、内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是_思维升华(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解跟踪演练1(1)(2014广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_(2)(2015常州联考)在区间1,5和2,4分别取一个
4、数，记为a，b，则方程1表示离心率大于的双曲线的概率为_热点二相互独立事件和独立重复试验1条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A).2相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)3独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p)，且E(X)np，V(X)np(1p)例2某
5、居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率思维升华求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点：(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同跟踪演练2(1)从混有5张
6、假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为_(2)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是_热点三离散型随机变量的概率分布1设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi的概率为P(Xxi)pi，则称下表：Xx1x2x3xixnPp1p2p3pipn为离散型随机变量X的概率分布2E(X)x1p1x2p2xipixnpn为X的均值或数学期望(简称期望)V(X)(x1E(X)2p1
7、(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn叫做随机变量X的方差例3(2015天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的概率分布和数学期望思维升华解答离散型随机变量的概率分布及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取
8、值的概率值(3)根据概率分布和期望、方差公式求解跟踪演练3(1)有三位同学过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物，设恰好抽到自己准备的礼物的人数为，则的数学期望E()_.(2)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.1位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五
9、次后位于点(2,3)的概率是_2甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打局(1)列出随机变量的概率分布；(2)求的数学期望E()提醒：完成作业专题七第2讲二轮专题强化练第2讲概率A组专题通关1在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，18的18名火炬手若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为_2有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相
10、邻的概率是_3已知(x，y)|，直线ymx2m和曲线y有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)，1，则实数m的取值范围为_4已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是_5设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一球，则6次取球中取出2个红球的概率为_6有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分；若4个球颜色
11、相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分小张摸一次得分的期望是_分7连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列anSn是其前n项和，则S53的概率是_8有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：同学甲乙丙概率0.5aa现请三位同学各投篮一次，设表示命中的次数，若E()，则a_.9甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望10(2015山东)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在
12、某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；(2)若甲参加活动，求甲得分X的概率分布和数学期望E(X)B组能力提高11某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为_12先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“xy为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且xy”，则概率
13、P(B|A)_.13(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和数学期望学生用书答案精析第2讲概率高考真题体验1.解析从袋中任取2个球共有C105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为.20.648解析3次投篮投
14、中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.3p2p3p1解析如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分；事件“|xy|”对应的图形为图所示的阴影部分；事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分对三者的面积进行比较，可得p2p3p1.4E(1)E(2)解析随机变量1，2的概率分布如下：112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)，整理得2，即b2a，从区间1,5和2,4分别取一个数，记为a，b，则对应的
15、点(a，b)在矩形ABCD内部(含边界)，作直线b2a，矩形ABCD内部满足b2a的点在ABM内部(不含线段AM)，则所求概率为P.例2解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk.则DD0D1，且D0、D1互斥依题意，得P(D0)C(1)3，P(D1)C(1)2，所以P(D)P(D0)P(D1).所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.跟踪演练2(1)(2)解析(1)记“抽到的两张中至少一张
16、是假钞”为事件A，记“抽到的2张都是假钞”为事件B，则P(A)，P(B)P(AB)，P(B|A).(2)若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖故获奖的情形共6种，获奖的概率为.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C3.例3解(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以随机变量X的概率分布为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.跟踪演练3(1)1(2)解析(1)的可能取值为0,1,3，P(0)；P(1)；P(3)；E()0131.(2)由题意知P(X0)(1p
17、)2，p.随机变量X的概率分布为X0123PE(X)0123.高考押题精练1.解析由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C()3()2C()5C()5.2解(1)依题意知，的所有可能取值为2,4,6.设每2局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为()2()2.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响则有P(2)，P(4)，P(6)()2，所以的概率分布为246P(2)E()246.二轮专题强化练答案精析第2讲概率1.解析基本事件总数为C171
18、63，选出火炬手编号为ana13(n1)，当a11时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法；当a12时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法；当a13时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法根据分类计数原理可得共有12种选法，所以，所求概率为P.2.解析第一步先排语文书有A2(种)排法第二步排物理书，分成两类：一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法因此同一科目的书都不相邻共有2(12223)48(种)排法，而5本书全排列共
19、有A120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是.30,1解析如图，由题意得m0，根据几何概型的意义，知P(M)，又P(M)，1，所以S弓形2,2故0m1.4.解析设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)，P(AB).则所求概率为P(B|A).5.解析由题意得红球个数X服从二项分布，即XB(6，)，P(X2)C()2()4.6.解析小张得100分的概率为，得50分的概率为，小张得分的数学期望为E(X)(分)7.解析该试验可看作一个独立重复试验，结果为1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S53即5次试验中1发生一次，1发生四次，故其概率为C()1(
20、)4.8.解析可取值0,1,2,3.P(0)0.5(1a)(1a)0.5(1a)2；P(1)0.5(1a)(1a)20.5a(1a)0.5(1a2)；P(2)0.5a220.5a(1a)0.5a(2a)；P(3)0.5aa0.5a2.E()P(0)0P(1)1P(2)2P(3)3.即0.5(1a2)a(2a)1.5a2，解得a.9解依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则A与B相互独立，且P(A)，P(B)，P()，P().甲、乙两人得分之和的可能取值为0,1,2，P(0)P( )P()P()，P(1)P(BA)P()P(B)P(A)P()，P(2)P(AB)P(A)P
21、(B).则的概率分布为012P甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人得分之和的数学期望为E()012.10解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C84，随机变量X的取值分别为0，1,1，因此P(X0)，P(X1)，P(X1)1，所以X的概率分布为X011P则E(X)0(1)1.11.解析该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1C2，三次全部击中目标的概率是P2C3，所以此人至少有两次击中目标的概率是PP1P2C2C3.12.解析正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有CC36(种)事件A：“xy为偶数”包含事件
22、A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)，P(A2)，所以P(A)P(A1)P(A2).事件B为“x，y中有偶数且xy”，所以事件AB为“x，y都为偶数且xy”，所以P(AB).由条件概率的计算公式，得P(B|A).13解(1)记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球，A2从乙箱中摸出的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A121A2，CB1B2.因为P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2).故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB.于是P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.故X的概率分布为X0123PX的数学期望为E(X)3.
