1、第八节曲线与方程命题分析预测学科核心素养应用圆锥曲线的定义或由已知条件求曲线方程或轨迹方程是本节的命题热点，题型以解答题为主，难度中等偏上，考查知识点较多，能力要求较高本节通过曲线与方程的求法考查数学建模、直观想象、数学抽象等核心素养授课提示：对应学生用书第188页知识点一曲线与方程1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示
2、曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合PM|p（M）；（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）0；（4）化方程f（x，y）0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 温馨提醒 轨迹问题应区分是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”一般来说，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型有时候，问题仅要求指出轨迹的类型，如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹是什么曲线，则可不求轨迹方程1已知点F，直线l：x，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则
3、点M的轨迹是（）A双曲线B椭圆C圆 D抛物线解析：由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线答案：D2已知O的方程为x2y24，过M（4，0）的直线与O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为（）A（x2）2y24B（x2）2y24C（x2）2y24（0x1）D（x2）2y24（1x0）解析：根据垂径定理知：OPPM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在O内的部分以OM为直径的圆的方程为（x2）2y24，它与O的交点为（1，）结合图形可知所求轨迹方程为（x2）2y24（0x1）答案：C3（易错题）设定点F1（0，3），F2（0，3），动点P满足条件
4、|PF1|PF2|a（a0），则点P的轨迹是（）A椭圆 B双曲线C线段 D椭圆或线段解析：a2 6（a0）当a3时，a6，此时|PF1|PF2|F1F2|，P点的轨迹为线段F1F2，当a3，a0时，|PF1|PF2|F1F2|由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆答案：D4平面上有三点A（2，y），B，C（x，y），若，则动点C的轨迹方程为_解析：，0，得2x0，得y28x答案：y28x授课提示：对应学生用书第189页题型一直接法求轨迹方程例（1）已知A（1，0），B（1，0）两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2，则当0时，动点M的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线 D抛物线（2）与y轴相切且与圆C：x
5、2y26x0相外切的圆的圆心的轨迹方程为_解析（1）设M（x，y），则N（x，0），所以2y2，（x1，0）（1x，0）（1x2），所以y2（1x2），即x2y2，变形为x21，所以当0时，动点M的轨迹为双曲线（2）若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2y26x0外切的圆的圆心为P（x，y）（x0），则半径长为|x|，因为圆x2y26x0的圆心为（3，0），所以|x|3，则y212x（x0），若动圆在y轴左侧，则y0，即圆心的轨迹方程为y212x（x0）或y0（x0）答案（1）C（2）y212x（x0）或y0（x0）利用直接法求轨迹方程的方法及注意点（1）利用直接法求解轨迹方程的关键是根据
6、条件准确列出方程，然后进行化简（2）运用直接法应注意的问题在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略对点训练设点A为圆（x1）2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则点P的轨迹方程是（）Ay22x B（x1）2y24Cy22x D（x1）2y22解析：如图，设P（x，y），圆心为M（1，0），连接MA，则MAPA，且|MA|1，又因为|PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以（x1）2y22答案：D题型二定义法求轨迹方程例已知圆C与两圆x2（y4）21，x2（y
7、2）21外切，圆C的圆心轨迹为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；（2）求满足条件mn的点M的轨迹Q的方程解析（1）两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1（0，4），C2（0，2），由题意得|CC1|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为（0，1），直线C1C2的斜率不存在，所以圆C的圆心轨迹L的方程为y1（2）因为mn，所以M（x，y）到直线y1的距离与到点F（0，1）的距离相等，故点M的轨迹Q是以y1为准线，点F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，而1，即p2，所以，轨迹Q的
8、方程是x24y定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点（1）求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程（2）关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键（3）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制对点训练（2021吕梁模拟）如图，已知圆N：x2（y）236，P是圆N上的点，点Q在线段NP上，且有点D（0，）和DP上的点M，满足2，0当P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程解析：连接QD（图略），由题意知，MQ是线段DP的中垂线，所以|N
9、P|NQ|QP|QN|QD|6|DN|2由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以D，N为焦点的椭圆，依题意设椭圆方程为1（ab0），则c，a3，b2，所以点Q的轨迹方程是1题型三相关点法（代入法）求轨迹方程例如图，抛物线E：y22px（p0）与圆O：x2y28相交于A，B两点，且点A的横坐标为2过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M（1）求p的值；（2）求动点M的轨迹方程解析（1）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y22px，解得p1（2）由（1）知抛物线E：y22x，设C，D，y10，y
10、20，切线l1的斜率为k，则切线l1：yy1k，代入y22x，得ky22y2y1ky0，由0，解得k，所以l1的方程为yx，同理l2的方程为yx联立解得易知CD的方程为x0xy0y8，其中x0，y0满足xy8，x02，2，由得x0y22y0y160，则代入可得M（x，y）满足可得代入xy8，并化简，得y21，考虑到x02，2，知x4，2，所以动点M的轨迹方程为y21，x4，2代入法求轨迹方程的四步骤对点训练如图，已知P是椭圆y21上一点，PMx轴于M若（1）求N点的轨迹方程；（2）当N点的轨迹为圆时，求的值解析：（1）设点P，点N的坐标分别为P（x1，y1），N（x，y），则M的坐标为（x1，
11、0），且xx1，（xx1，yy1）（0，yy1），（x1x，y）（0，y），由得（0，yy1）（0，y）yy1y，即y1（1）yP（x1，y1）在椭圆y21上，则y1，（1）2y21，故（1）2y21为所求的N点的轨迹方程（2）要使点N的轨迹为圆，则（1）2，解得或故当或时，N点的轨迹是圆轨迹方程中的核心素养数学抽象、直观想象轨迹方程的创新应用问题例如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是_ 解析如图，过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连接PH，PM，易证得PHA1D1设P（x，y），由|PH|2|PM|21，得x211，化简得y2x答案y2x轨迹问题常与函数、立体几何交汇命题，主要通过条件信息，求动点的轨迹，常用的方法是直接法或相关点法对点训练如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是（）A直线B抛物线C椭圆 D双曲线的一支解析：母线与中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线AB与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆答案：C
