1、A卷1设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上两个点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,2,1),则|AB|()A18B12C3 D2解析:选C.|AB|3.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为CD和C1C的中点,则直线AE与D1F所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析:选B.以D为原点,分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)设棱长为2,则A(2,0,0)、E(0,1,0)、D1(0,0,2)、F(0,2,1)所以(2,1,0),(0,2,1),cos,.则直线AE与D1F所成角的余弦值为.3长方体ABCDA1B1C1
2、D1中,ABAA12,AD1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析:选A.建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),(1,0,2),(1,2,1),所以cos,.4(2015云南省第一次统一检测)在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB4,点D在棱BB1上,若BD3,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A.B.C. D.解析:选D.取AC的中点E,连接BE,如图,可得()421252cos (为与的夹角),所以cos ,sin ,tan ,又因为BE平面AA1C1C,所以所求角的正切值为.5在
3、正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析:选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),所以(0,1,1),设平面A1ED的一个法向量为n1(1,y,z),则所以所以n1(1,2,2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1),所以cosn1,n2.即所成的锐二面角的余弦值为.6(2015宁波市高三模拟)已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,以O为球心,1为半径作球,点P是球面上的任意一点,点Q是正方体ABCD-
4、A1B1C1D1表面上的任意一点,则的取值范围为()A9,9 B12,12C15,15 D18,18解析:选B.在AD上取点E,F,使得AEDF1,则球面上的任意一点在向量上的射影均落在线段EF上,不妨把点Q固定在点A,则|cos,4|cos,由向量数量积的几何意义可知,的最大值为ADAF4312,由对称性知的最小值为12.7.如图,矩形ABCD中,AB2,BC4,将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置,使点A在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线AB与CD所成角的大小为_解析:过O作OECD交BD于点E(图略),由题意知,AOOC,AOOE,OEOC,故以O为原点,分别为x,y
5、,z轴正方向建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,),B(1,0,0),C(3,0,0),D(3,2,0),所以(1,0,),(0,2,0),0,所以,故异面直线AB与CD所成角的大小为90.答案:908(2015沈阳市质量监测)在直三棱柱ABCA1B1C1中,若BCAC,BAC,AC4,点M为AA1的中点,点P为BM的中点,Q在线段CA1上,且A1Q3QC,则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为_解析:由题意,以C为原点、以AC边所在直线为x轴、以BC边所在直线为y轴、以CC1边所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示设棱柱的高为a,由BAC,AC4,得BC4,所以A(4,0,0),B(
6、0,4,0),C(0,0,0),A1(4,0,a),B1(0,4,a),C1(0,0,a),M,P,Q.所以(1,2,0),(4,0,0)设异面直线QP与CA所成的角为,所以cos ,由|1420004,|44 ,得cos .由sin2cos21,得sin2,所以sin ,因为异面直线所成角的正弦值为正,所以sin 即为所求答案:9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E、F分别为BB1、CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为_解析:以A为坐标原点,AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(0,0,1),E,F,D1(0,1,1)所以,(0,
7、1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x,y,z),则即令z2,则x1,所以n(1,0,2)又,所以点F到平面A1D1E的距离为d.答案:10(2015温州市高三第二次检测)如图所示的一块长方体木料中,已知ABBC4,AA11,设E为底面ABCD的中心,且(0),则该长方体中经过点A1,E,F的截面面积的最小值为_解析:A1,E,F确定的截面如图中平面EFA1H所示,且EF是截面与下底面ABCD的交线,G为EF与BC边的交点,易知GHA1F,当F移动时,点G在BC上移动且CGAF,由(0)知,CG2,于是H必在C1B1上,截面是一个四边形,由于截面在ABB1A1上的投影就是矩形ABB1A1
8、,因此根据cos (为截面A1FGH与平面ABB1A1的夹角),知当截面A1FGH与平面ABB1A1的夹角的余弦值最大时,截面面积最小下面利用向量法求cos 的最大值建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),A1(2,2,1)设F(2,m,0)(0m2),则(2,m,0),(2,2,1),设截面A1FGH的法向量为n1(x,y,z),则,取y2,则xm,z42m,所以n1(m,2,42m)为平面A1FGH的一个法向量容易得到平面ABB1A1的一个法向量为n2(0,1,0),于是cos ,故cos 的最大值为,此时截面面积S四边形A1FGH.答案:11如图所示,在多面体ABCDA1B1C
9、1D1中,上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行,且都是正方形,DD1底面ABCD,ABA1B1,AB2A1B12DD12a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值;(2)已知F是AD的中点,求证:FB1平面BCC1B1.解:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),F(a,0,0),B1(a,a,a)(1)因为(a,a,a),(0,0,a),所以cos,所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.(2)证明:因为(a,a,a),(2a,0,
10、0),(0,a,a),所以所以FB1BB1,FB1BC.因为BB1BCB,所以FB1平面BCC1B1.12如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,其棱长为2,E为棱DD1的中点,F为对角线DB的中点(1)求证:平面CFB1平面EFB1;(2)求异面直线EF与B1C所成角的余弦值;(3)求直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值解:(1)证明:因为F为DB的中点,则CFBD,又CFD1D,BDD1DD,所以CF平面BB1D1D,因为CF平面CFB1,所以平面CFB1平面EFB1.(2)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(0,0,
11、1),F(1,1,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),C1(0,2,2)所以(1,1,1),(2,0,2)所以异面直线EF与B1C所成角的余弦值为|cos,|0.(3)由(1)知CFEF,由(2)知EFB1C,又B1CCFC,B1C,CF平面B1CA,所以EF平面B1CA.所以是平面B1CA的法向量因为(1,1,2),所以cos,所以直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值为.13(2015贵阳市监测考试)如图,已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且ABAC,ABACPA2,E是BC的中点(1)求异面直线AE与PC所成的角;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值
12、解:(1)如图所示,以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2)故E(1,1,0),(1,1,0),(0,2,2),cos,即,60,故异面直线AE与PC所成的角为60.(2)在四边形ABCD中,因为ABAC2,ABAC,所以ABCACB45,因为ADBC,所以DACACB45,又ADCD,所以ADCD,所以D(1,1,0),又C(0,2,0),所以(1,1,0),(0,2,2)设n(x,y,z)是平面PCD的法向量,则n,n,即n0,n0,所以令x1,得y1,z1,即n(1,1,1),|n|,又AB平面PAC,所以(2,0,0)是平面PAC的
13、一个法向量,所以cos,n,即二面角DPCA的平面角的余弦值为.14(2015西安地区八校联考)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,AB2BC4,BFCFAEDE,EF2,EFAB,AFCF.(1)若G为FC的中点,证明:AF平面BDG;(2)求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值解:(1)证明:连接AC交BD于O点,则O为AC的中点,连接OG,因为点G为FC的中点,所以OGAF.因为AF平面BDG,OG平面BDG,所以AF平面BDG.(2)取AD的中点M,BC的中点Q,连接MQ,则MQABEF,所以M,Q,F,E共面作FPMQ于P,ENMQ于N,则ENFP且ENFP.连接EM,FQ,因
14、为AEDEBFCF,ADBC,所以ADE和BCF全等,所以EMFQ,所以ENM和FPQ全等,所以MNPQ1,因为BFCF,Q为BC中点,所以BCFQ,又BCMQ,FQMQQ,所以BC平面MQFE,所以PFBC,所以PF平面ABCD.以P为原点,PM为x轴,PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示,则A(3,1,0),B(1,1,0),C(1,1,0),设F(0,0,h),则(3,1,h),(1,1,h)因为AFCF,所以0,解得h2.设平面ABF的法向量n1(x1,y1,z1),(3,1,2),(1,1,2),由得令z11,得x10,y12,得一个法向量n1(0,2,1)同理得平面BCF的一个法向
15、量为n2(2,0,1),所以cosn1,n2,所以平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为.B卷1(2015南宁市第二次适应性测试)如图所示多面体中,AD平面PDC,ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,CDP120,AD3,AP5,PC2.(1)试确定点F的位置,使得EF平面PDC;(2)若BFBP,求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值解:(1)取线段BP的中点F,取PC的中点O,连接FO,DO(图略),因为F,O分别为BP,PC的中点,所以FO綊BC.因为四边形ABCD为平行四边形,EDBC,且DEBC,所以FOED且EDFO,所以四边形EFOD是平行四边形,所以EFDO
16、.因为EF平面PDC,DO平面PDC,所以EF平面PDC.(2)以DC为x轴,过D点作DC的垂线为y轴,DA为z轴建立空间直角坐标系(图略)在PDC中,由PD4,PC2,CDP120,及余弦定理,得CD2,则D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P(2,2,0),A(0,0,3),设F(x,y,z),则(x2,y,z3),所以F.设平面PBC的法向量n1(a,b,c),(0,0,3),(4,2,0),由得令b1,可得n1.cos,n1,所以直线AF与平面PBC所成的角的正弦值为.2(2015长春市质量监测)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,DAB60,PD平面AB
17、CD,PDAD1,点E,F分别为AB和PD的中点(1)求证:直线AF平面PEC;(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值解:(1)证明:作FMCD交PC于M,连接ME.因为点F为PD的中点,所以FMCD.所以AEABFM,所以AEMF为平行四边形,所以AFEM,因为AF平面PEC,EM平面PEC,所以直线AF平面PEC.(2)连接DE,因为DAB60,所以DEDC.如图所示,建立直角坐标系,则P(0,0,1),C(0,1,0),E,A,B,所以,(0,1,0)设平面PAB的法向量为n(x,y,z)因为n0,n0,所以取x1,则z,所以平面PAB的一个法向量为n.因为(0,1,1),设向量n与所成
18、的角为,所以cos ,所以PC与平面PAB所成角的正弦值为.3(2015九江市第一次统考)如图所示,在长方体ABCDABCD中,ABADAA(0),E,F分别是AC和AD的中点,且EF平面ABCD.(1)求的值;(2)求二面角CABE的余弦值解:以D为原点,DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系设AAAD2,则AB2,D(0,0,0),A(2,0,2),D(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),E(1,2),F(1,0,0)(1)(0,2),(2,0,0),(0,2,2),因为EFDA,EFAB,所以0,0,即2240,所以.(2)设平面EAB的一个法向量为m
19、(1,y,z),则因为(0,2,2),(1,0),所以所以y,z1,所以m.由已知得为平面ABC的一个法向量,又(0,2),所以cosm,.又二面角CABE为锐二面角,所以二面角CABE的余弦值为.4如图1,在RtABC中,ACB30,ABC90,D为AC的中点,AEBD于E,延长AE交BC于F,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如图2所示(1)求证:AE平面BCD;(2)求二面角ADCB的余弦值;(3)在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC?若存在,请指明点M的位置;若不存在,请说明理由解:(1)证明:平面ABD平面BCD,交线为BD.又在ABD中,AEBD于E,AE平面ABD
20、,所以AE平面BCD.(2)由(1)结论AE平面BCD可得AEEF.由题意可知EFBD,AEBD.如图,以E为坐标原点,分别以EF,ED,EA所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Exyz.不妨设ABBDDCAD2,则BEED1,AE,BC2,EF,则E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,1,0),A(0,0,),F,C(,2,0),(,1,0),(0,1,)由AE平面BCD可知平面CDB的一个法向量(0,0,)设平面ADC的法向量为n(x,y,z),则即令z1,则y,x1,所以n(1,1)所以cosn,所以二面角ADCB的余弦值为.(3)设,其中0,1由于,所以,其中0,1,所以,令n0,得(1)0,解得0,1,所以在线段AF上存在点M使得EM平面ADC,且.