1、A卷1设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上两个点A，B的坐标分别为A(1，2，2)，B(2，2，1)，则|AB|()A18B12C3 D2解析：选C.|AB|3.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B.以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)设棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)所以(2，1，0)，(0，2，1)，cos，.则直线AE与D1F所成角的余弦值为.3长方体ABCDA1B1C1
2、D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A.建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，(1，0，2)，(1，2，1)，所以cos，.4(2015云南省第一次统一检测)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，点D在棱BB1上，若BD3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A.B.C. D.解析：选D.取AC的中点E，连接BE，如图，可得()421252cos (为与的夹角)，所以cos ，sin ，tan ，又因为BE平面AA1C1C，所以所求角的正切值为.5在
3、正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.6(2015宁波市高三模拟)已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，以O为球心，1为半径作球，点P是球面上的任意一点，点Q是正方体ABCD-
4、A1B1C1D1表面上的任意一点，则的取值范围为()A9，9 B12，12C15，15 D18，18解析：选B.在AD上取点E，F，使得AEDF1，则球面上的任意一点在向量上的射影均落在线段EF上，不妨把点Q固定在点A，则|cos，4|cos，由向量数量积的几何意义可知，的最大值为ADAF4312，由对称性知的最小值为12.7.如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置，使点A在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线AB与CD所成角的大小为_解析：过O作OECD交BD于点E(图略)，由题意知，AOOC，AOOE，OEOC，故以O为原点，分别为x，y
5、，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(3，0，0)，D(3，2，0)，所以(1，0，)，(0，2，0)，0，所以，故异面直线AB与CD所成角的大小为90.答案：908(2015沈阳市质量监测)在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BCAC，BAC，AC4，点M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q3QC，则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为_解析：由题意，以C为原点、以AC边所在直线为x轴、以BC边所在直线为y轴、以CC1边所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设棱柱的高为a，由BAC，AC4，得BC4，所以A(4，0，0)，B(
6、0，4，0)，C(0，0，0)，A1(4，0，a)，B1(0，4，a)，C1(0，0，a)，M，P，Q.所以(1，2，0)，(4，0，0)设异面直线QP与CA所成的角为，所以cos ，由|1420004，|44 ，得cos .由sin2cos21，得sin2，所以sin ，因为异面直线所成角的正弦值为正，所以sin 即为所求答案：9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_解析：以A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(0，0，1)，E，F，D1(0，1，1)所以，(0，
7、1，0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，所以n(1，0，2)又，所以点F到平面A1D1E的距离为d.答案：10(2015温州市高三第二次检测)如图所示的一块长方体木料中，已知ABBC4，AA11，设E为底面ABCD的中心，且(0)，则该长方体中经过点A1，E，F的截面面积的最小值为_解析：A1，E，F确定的截面如图中平面EFA1H所示，且EF是截面与下底面ABCD的交线，G为EF与BC边的交点，易知GHA1F，当F移动时，点G在BC上移动且CGAF，由(0)知，CG2，于是H必在C1B1上，截面是一个四边形，由于截面在ABB1A1上的投影就是矩形ABB1A1
8、，因此根据cos (为截面A1FGH与平面ABB1A1的夹角)，知当截面A1FGH与平面ABB1A1的夹角的余弦值最大时，截面面积最小下面利用向量法求cos 的最大值建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A1(2，2，1)设F(2，m，0)(0m2)，则(2，m，0)，(2，2，1)，设截面A1FGH的法向量为n1(x，y，z)，则，取y2，则xm，z42m，所以n1(m，2，42m)为平面A1FGH的一个法向量容易得到平面ABB1A1的一个法向量为n2(0，1，0)，于是cos ，故cos 的最大值为，此时截面面积S四边形A1FGH.答案：11如图所示，在多面体ABCDA1B1C
9、1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，ABA1B1，AB2A1B12DD12a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1平面BCC1B1.解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a，0，0)，B(2a，2a，0)，C(0，2a，0)，D1(0，0，a)，F(a，0，0)，B1(a，a，a)(1)因为(a，a，a)，(0，0，a)，所以cos，所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.(2)证明：因为(a，a，a)，(2a，0，
10、0)，(0，a，a)，所以所以FB1BB1，FB1BC.因为BB1BCB，所以FB1平面BCC1B1.12如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，其棱长为2，E为棱DD1的中点，F为对角线DB的中点(1)求证：平面CFB1平面EFB1；(2)求异面直线EF与B1C所成角的余弦值；(3)求直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值解：(1)证明：因为F为DB的中点，则CFBD，又CFD1D，BDD1DD，所以CF平面BB1D1D，因为CF平面CFB1，所以平面CFB1平面EFB1.(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(0，0，
11、1)，F(1，1，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)所以(1，1，1)，(2，0，2)所以异面直线EF与B1C所成角的余弦值为|cos，|0.(3)由(1)知CFEF，由(2)知EFB1C，又B1CCFC，B1C，CF平面B1CA，所以EF平面B1CA.所以是平面B1CA的法向量因为(1，1，2)，所以cos，所以直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值为.13(2015贵阳市监测考试)如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ABAC，ABACPA2，E是BC的中点(1)求异面直线AE与PC所成的角；(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值
12、解：(1)如图所示，以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)故E(1，1，0)，(1，1，0)，(0，2，2)，cos，即，60，故异面直线AE与PC所成的角为60.(2)在四边形ABCD中，因为ABAC2，ABAC，所以ABCACB45，因为ADBC，所以DACACB45，又ADCD，所以ADCD，所以D(1，1，0)，又C(0，2，0)，所以(1，1，0)，(0，2，2)设n(x，y，z)是平面PCD的法向量，则n，n，即n0，n0，所以令x1，得y1，z1，即n(1，1，1)，|n|，又AB平面PAC，所以(2，0，0)是平面PAC的
13、一个法向量，所以cos，n，即二面角DPCA的平面角的余弦值为.14(2015西安地区八校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB2BC4，BFCFAEDE，EF2，EFAB，AFCF.(1)若G为FC的中点，证明：AF平面BDG；(2)求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，因为点G为FC的中点，所以OGAF.因为AF平面BDG，OG平面BDG，所以AF平面BDG.(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQABEF，所以M，Q，F，E共面作FPMQ于P，ENMQ于N，则ENFP且ENFP.连接EM，FQ，因
14、为AEDEBFCF，ADBC，所以ADE和BCF全等，所以EMFQ，所以ENM和FPQ全等，所以MNPQ1，因为BFCF，Q为BC中点，所以BCFQ，又BCMQ，FQMQQ，所以BC平面MQFE，所以PFBC，所以PF平面ABCD.以P为原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(3，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，设F(0，0，h)，则(3，1，h)，(1，1，h)因为AFCF，所以0，解得h2.设平面ABF的法向量n1(x1，y1，z1)，(3，1，2)，(1，1，2)，由得令z11，得x10，y12，得一个法向量n1(0，2，1)同理得平面BCF的一个法向
15、量为n2(2，0，1)，所以cosn1，n2，所以平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为.B卷1(2015南宁市第二次适应性测试)如图所示多面体中，AD平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，CDP120，AD3，AP5，PC2.(1)试确定点F的位置，使得EF平面PDC；(2)若BFBP，求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值解：(1)取线段BP的中点F，取PC的中点O，连接FO，DO(图略)，因为F，O分别为BP，PC的中点，所以FO綊BC.因为四边形ABCD为平行四边形，EDBC，且DEBC，所以FOED且EDFO，所以四边形EFOD是平行四边形，所以EFDO
16、.因为EF平面PDC，DO平面PDC，所以EF平面PDC.(2)以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系(图略)在PDC中，由PD4，PC2，CDP120，及余弦定理，得CD2，则D(0，0，0)，C(2，0，0)，B(2，0，3)，P(2，2，0)，A(0，0，3)，设F(x，y，z)，则(x2，y，z3)，所以F.设平面PBC的法向量n1(a，b，c)，(0，0，3)，(4，2，0)，由得令b1，可得n1.cos，n1，所以直线AF与平面PBC所成的角的正弦值为.2(2015长春市质量监测)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60，PD平面AB
17、CD，PDAD1，点E，F分别为AB和PD的中点(1)求证：直线AF平面PEC；(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值解：(1)证明：作FMCD交PC于M，连接ME.因为点F为PD的中点，所以FMCD.所以AEABFM，所以AEMF为平行四边形，所以AFEM，因为AF平面PEC，EM平面PEC，所以直线AF平面PEC.(2)连接DE，因为DAB60，所以DEDC.如图所示，建立直角坐标系，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，E，A，B，所以，(0，1，0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)因为n0，n0，所以取x1，则z，所以平面PAB的一个法向量为n.因为(0，1，1)，设向量n与所成
18、的角为，所以cos ，所以PC与平面PAB所成角的正弦值为.3(2015九江市第一次统考)如图所示，在长方体ABCDABCD中，ABADAA(0)，E，F分别是AC和AD的中点，且EF平面ABCD.(1)求的值；(2)求二面角CABE的余弦值解：以D为原点，DA，DC，DD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设AAAD2，则AB2，D(0，0，0)，A(2，0，2)，D(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(1，2)，F(1，0，0)(1)(0，2)，(2，0，0)，(0，2，2)，因为EFDA，EFAB，所以0，0，即2240，所以.(2)设平面EAB的一个法向量为m
19、(1，y，z)，则因为(0，2，2)，(1，0)，所以所以y，z1，所以m.由已知得为平面ABC的一个法向量，又(0，2)，所以cosm，.又二面角CABE为锐二面角，所以二面角CABE的余弦值为.4如图1，在RtABC中，ACB30，ABC90，D为AC的中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示(1)求证：AE平面BCD；(2)求二面角ADCB的余弦值；(3)在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由解：(1)证明：平面ABD平面BCD，交线为BD.又在ABD中，AEBD于E，AE平面ABD
20、，所以AE平面BCD.(2)由(1)结论AE平面BCD可得AEEF.由题意可知EFBD，AEBD.如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设ABBDDCAD2，则BEED1，AE，BC2，EF，则E(0，0，0)，D(0，1，0)，B(0，1，0)，A(0，0，)，F，C(，2，0)，(，1，0)，(0，1，)由AE平面BCD可知平面CDB的一个法向量(0，0，)设平面ADC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y，x1，所以n(1，1)所以cosn，所以二面角ADCB的余弦值为.(3)设，其中0，1由于，所以，其中0，1，所以，令n0，得(1)0，解得0，1，所以在线段AF上存在点M使得EM平面ADC，且.