1、第18练三角函数的图象与性质题型分析高考展望三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换.考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般为低中档，在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分.常考题型精析题型一三角函数的图象例1(1)(2015课标全国)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ(2)(2014湖北)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10c
2、ostsint，t0,24).求实验室这一天上午8时的温度；求实验室这一天的最大温差.点评(1)画三角函数图象用“五点法”，由图象求函数解析式逆用“五点法”是比较好的方法.(2)对三角函数图象主要确定下列信息：周期；最值；对称轴；与坐标轴交点；单调性；与标准曲线的对应关系.变式训练1已知函数f(x)2sin(x)(其中0，|0，|0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为_.题型二三角函数的简单性质例2设函数f(x)sin2xsin xcos x(0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.点评解决此类问题首先将已知函
3、数式化为yAsin(x)k(或yAcos(x)k)的形式，再将x看成， 利用ysin (或ycos )的单调性、对称性等性质解决相关问题.变式训练2(2014福建)已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.题型三三角函数图象的变换例3已知函数f(x)10sin cos 10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式；证明：存在无穷多个互不相同的正整
4、数x0，使得g(x0)0.点评对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把x写成(x)，最后确定平移的单位和方向.伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分.变式训练3(2014山东)已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n), 函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点(，)和点(，2).(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(00，|0，0，|)的部分图象如图所示，则将yf(x)的
5、图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为()A.ysin 2x B.ycos 2xC.ysin D.ysin7.若函数f(x)cos(2x)的图象关于点成中心对称，且，则函数yf为()A.奇函数且在上单调递增B.偶函数且在上单调递增C.偶函数且在上单调递减D.奇函数且在上单调递减8.(2015湖北)函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为_.9.函数ycos(2x)(0，)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f()()，求cos()的值.12.(2015重庆)已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最
6、小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性.答案精析第18练三角函数的图象与性质常考题型精析例1D 由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.故选D.(2)解f(8)10cos(8)sin(8)10cossin10()10.故实验室上午8时的温度为10.因为f(t)102(costsint)102sin(t)，又0t24，所以t0，|)的最小正周期为，T，2.f(0)2sin ，即sin (|)，.(2)观察图象可知：A2且点(0,1)在图象上，12sin(0)，即sin .|0，所以1.(2
7、)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.变式训练2解(1)因为0，sin ，所以cos .所以f()().(2)因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.例3解(1)因为f(x)10sin cos 10cos25sin x5cos x510sin5，所以函数f(x)的最小正周期T2.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y10sin x5的图象，再向下平移a(a0)个单位
8、长度后得到g(x)10sin x5a的图象.又已知函数g(x)的最大值为2，所以105a2，解得a13.所以g(x)10sin x8.要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x080，即sin x0.由知，存在00，使得sin 0.由正弦函数的性质可知，当x(0，0)时，均有sin x.因为ysin x的周期为2，所以当x(2k0,2k0)(kZ)时，均有sin x.因为对任意的整数k，(2k0)(2k0)201，所以对任意的正整数k，都存在正整数x0(2k0,2k0)，使得sin x0.亦即，存在无穷多个互不相同的
9、正整数x0，使得g(x0)0.变式训练3解(1)由题意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因为yf(x)的图象过点(，)和(，2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x).由题意知g(x)f(x)2sin(2x2).设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入yg(x)得sin(2)1，因为0，所以，因此g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以函数yg(x)的单调递增区间为k，k，kZ.高考题型精练1. A ycossi
10、n 2x，最小正周期T，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；ysincos 2x，最小正周期为，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确.2.D 由题意知，f(x)cos x，所以它是偶函数，A错；它的周期为2，B错；它的对称轴是直线xk，kZ，C错；它的对称中心是点，kZ，D对.3.C 由图象知，T2()，2.由2k，kZ，得k，kZ.又|，.由Atan(20)1，知A1，f(x)tan(2x)，f()tan(2)tan.4.B y3sin(2x)的图象向右平移个单位长度得到y3sin2(x)3sin(2x).令2k2x2
11、k得kxk，kZ，则y3sin(2x)的增区间为k，k，kZ.令k0得其中一个增区间为，故B正确.画出y3sin(2x)在，上的简图，如图，可知y3sin(2x)在，上不具有单调性，故C，D错误.5.B 依题意可得yf(x)y4sin2(x)4sin2x(2)yg(x)4sin4x(2)，因为所得图象关于直线x对称，所以g4，得(kZ)，故选B.6.D 由图象知A1，T，T，2，由sin1，|得f(x)sin，则图象向右平移个单位后得到的图象的解析式为ysinsin.7.D 因为函数f(x)cos(2x)的图象关于点成中心对称，则k，kZ.即k，kZ，又，则，则yfcoscossin 2x，所
12、以该函数为奇函数且在上单调递减.8.2解析f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出函数ysin 2x与函数y|ln(x1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.9.解析函数ycos(2x)向右平移个单位，得到ysin，即ysin向左平移个单位得到函数ycos(2x)，ysin向左平移个单位，得ysinsinsincoscos，即.10.解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x
13、)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，因此g(x)5sin5sin.因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ.令2xk，解得x，kZ.即yg(x)图象的对称中心为，kZ，其中离原点O最近的对称中心为.11.解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期为T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，k0，1，2，.由，得k0，所以.(2)由(1)得f()sin(2)，所以sin().由，得0，所以cos() .所以cos()sin sin()sin()coscos()sin.12.解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增，当2x，即x时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.
