1、2021年天津市南开区高考数学模拟试卷（二）（二模）一、选择题（共9小题）.1已知集合A3，1，0，2，3，4，RBx|x0或x3，则AB（）AB3，1，0，4C2，3D0，2，32已知xR，则“”是“x21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3函数f（x）的图象大致为（）ABCD4某健身俱乐部统计学员经训练后的平板支撑的时间增加值都在20s到45s之间，其频率分布直方图如图所示现已知时间增加值在30，35），40），40，则学员时间增加值是30，35）或40（）A0.5B0.3C0.6D0.45已知直线l与圆C：x2+y26x+50交于A，B两点，且线段A
2、B的中点坐标为D（2，）（）A2B3C4D56已知f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（，0）2e），bf（ln2），则a，b（）AabcBbacCcbaDcab7已知双曲线C：的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2点A在双曲线C上，若AF1F2的周长为10，则AF1F2的面积为（）ABC15D308已知函数，则下列四个结论中：f（x）的周期为；是f（x）图象的一条对称轴；是f（x）的一个单调递增区间；f（x）在区间上的最大值为2所有正确结论的序号是（）ABCD9在直角梯形ABCD中，ADAB，CDAB，E为BC边上一点，F为直线AE上一点，则（）ABCD二、填空题（共6小题）.10若复数z
3、2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为 11的二项展开式中，x3的系数等于 12某长方体的长、宽、高分别为4，4，2，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 13甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答 ；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是 14已知a0，b0，a+2b12+4b2+的最小值是 15设函数f（x），若函数yf（x）在区间（a，a+1），则实数a的取值范围是 ；若函数g（x）f（f（x）m恰有5个的零点 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在
4、ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csinAacosC（）求角C的大小；（）求边c的长；（）求cos（C2A）的值17如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1（）求证：B1C平面A1BD；（）求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值；（）求二面角ABDA1的大小18设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（nN*）已知b11，b3b2+2，b4a3+a5，b5a4+2a6（）求an和bn的通项公式；（）设数列的前n项和Tn.记cn，求cn；（）求19已知抛物线C1：y22px（p0）与离心率为的椭圆
5、C2：的一个交点为P（1，t），点P到抛物线C1的焦点的距离为2（）求C1与C2的方程；（）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线C1于点B，直线AB交y轴于点E，且OAEEOB？若存在；若不存在，请说明理由20（16分）已知函数f（x）e2x，g（x）m（2x+1）（m0）（e为自然对数的底数），h（x）f（x）（x）（）若me，求函数h（x）的单调区间；（）若h（x）1m恒成立，求实数m的值；（）若直线yg（x）是曲线f（x）e2x的一条切线求证：对任意实数ab，都有参考答案一、选择题（共9小题）.1已知集合A3，1，0，2，3，4，RBx|x0或
6、x3，则AB（）AB3，1，0，4C2，3D0，2，3解：RBx|x0或x3Bx|2x3A3，3，0，2，4AB2，3故选：C2已知xR，则“”是“x21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：由2，由x21，解得7x1，（1，6）（，“”是“x21”的必要不充分条件，故选：B3函数f（x）的图象大致为（）ABCD解：根据题意，f（x），为非奇非偶函数、D，又由f（0）1；故选：B4某健身俱乐部统计学员经训练后的平板支撑的时间增加值都在20s到45s之间，其频率分布直方图如图所示现已知时间增加值在30，35），40），40，则学员时间增加值是30，35）或4
7、0（）A0.5B0.3C0.6D0.4解：设学员时间增加值是35，40）的频率为a，则学员时间增加值是30，35）或40，由频率分布直方图的性质得：（0.01+0.07）8+a+2a1，解得a7.2，学员时间增加值是30，35）或40故选：D5已知直线l与圆C：x2+y26x+50交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为D（2，）（）A2B3C4D5解：圆C：x2+y23x+50的圆心（5，0），直线l与圆C：x2+y46x+55交于A，B两点，），所以弦心距为：，所以弦长|AB|为：52故选：A6已知f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（，0）2e），bf（ln2），则a，b（）AabcBba
8、cCcbaDcab解：f（x）是R上的偶函数，f（log23）f（log73），f（x）在区间（，0）上单调递减，f（x）在（6，+）上单调递增，0ln28log2elog24，f（ln2）f（log2e）f（log83），即bac故选：D7已知双曲线C：的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2点A在双曲线C上，若AF1F2的周长为10，则AF1F2的面积为（）ABC15D30解：双曲线C：的离心率为2，解得a1，因为点A在双曲线C上，不妨设A在第一象限5F2的周长为10，|F1F3|+|AF1|+|AF2|10，|AF7|AF2|2，所以三角形的边长为|F7F2|4，|AF8|4，|AF2|
9、4，所以三角形的面积为：、故选：A8已知函数，则下列四个结论中：f（x）的周期为；是f（x）图象的一条对称轴；是f（x）的一个单调递增区间；f（x）在区间上的最大值为2所有正确结论的序号是（）ABCD解：，函数f（x）的周期为，正确；令，解得，令，错误；令，解得，令k0，则，则是f（x）的一个单调递增区间；当时，此时最大值为故选：B9在直角梯形ABCD中，ADAB，CDAB，E为BC边上一点，F为直线AE上一点，则（）ABCD解：以A为原点，AB、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，A（0，0），7），1），1），设E（a，b），则，（1，2）3（1a，解得，直线AE的方程为，设F（x，y），又
10、F为直线AE上一点，当x时，有最大值，故选：C二、填空题；本大题共6个小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上。10若复数z2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为解：复数z2i+2i+，则复数|z|，故答案为：11的二项展开式中，x3的系数等于15解：的二项展开式的通项公式为Tr+1（1）r，令6r3且，解得r2，所以x3的系数等于（5）215故答案为：1512某长方体的长、宽、高分别为4，4，2，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为解：长方体的体积为：V125432，长方体外接球的直径为：2R8，外接球的体积为：V236，长方体的体积与其外接球的体积之比为：故答案为：13甲、乙两
11、人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是解：甲不合格的概率是P1；甲、乙两人中每次答题合格的概率为P+，甲、乙两人中恰有一人合格的概率P故答案为：，14已知a0，b0，a+2b12+4b2+的最小值是解：a0，b0，ab令abt，则t（2，4+4b264t，a2+5b2+14t+令f（t）15t+，6t可知函数f（t）在（8，是减函数，f（）f（t）f（0），解得：f（t）故答案为：15设函数f（x），若函数yf（x）在区间（a，a+1），则实数a的取值范围是a1或a4；若函数g
12、（x）f（f（x）m恰有5个的零点（0，2解：画出函数f（x）图象如下：由图可知，若函数yf（x）在区间（a，则a+12或a7；若函数g（x）f（f（x）m恰有5个的零点，则：若m4，g（x）仅存5个零点若m4，f（x）2或f（x）7若2m4，5f（x）2或2f（x）3或f（x）4若0m8，0f（x）2或7f（x）4若m0，f（x）2或4若m0，f（x）5综上，m的取值范围是：m（0故答案为：（0，7三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csinAacosC（）求角C的大小；（）求边c的长；（）求
13、cos（C2A）的值解：（I）因为csinAacosC，由正弦定理得，sinCsinAsinAcosC，因为sinA0，所以sinCcosC，即tanC1，由C为三角形内角得，C；（II）因为a3，C，由余弦定理得，c29+24，所以c；（III）由余弦定理得，cosA，所以sinA，sin2A8sinAcosA8A1，所以cos（C2A）cos（5A）17如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1（）求证：B1C平面A1BD；（）求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值；（）求二面角ABDA1的大小【解答】（）证明：设AB1A1BM，
14、连接DM，因为四边形AA6B1B为平行四边形，所以M为AB1中点，又因为D为AC中点，所以DMB5C，因为DM平面A1BD，B1C平面A5BD，所以B1C平面A1BD；（）解：取A6B中点N，连接MN，因为A1A底面ABC，BD平面ABC1ABD，因为底面ABC是正三角形，D是AC的中点，又因为A3AACA，所以BD平面A1AD，因为AN平面A1AD，所以ANBD，又因为A3AAD1，所以ANA1D，所以AN平面A6BD，于是MN为AB1在平面A1BD内投影，所以AMN为直线AB7与平面A1BD所成角，sinAMN，所以直线AB8与平面A1BD所成角的正弦值；（）解：由（）知BD平面A3AD，
15、因为A1D平面A1AD，所以BDA2D，又因为BDAC1DA为二面角ABDA1的平面角，因为A4AD90，A1AAD，所以A1DA45，所以二面角ABDA4的大小为4518设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（nN*）已知b11，b3b2+2，b4a3+a5，b5a4+2a6（）求an和bn的通项公式；（）设数列的前n项和Tn.记cn，求cn；（）求解：（）设数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列，公比大于0n（nN*）已知b12，b3b2+8，b4a3+a8，b5a4+7a6所以q2q+2，解得q2，由于b4a3+a5，b5a5+2a6所以6a1
16、+6d6，3a1+13d16，解得a7d1，故ann，（）由（）知：，所以T7n0，T2n21，所以，（）由（）得：，所以，得：，整理得19已知抛物线C1：y22px（p0）与离心率为的椭圆C2：的一个交点为P（1，t），点P到抛物线C1的焦点的距离为2（）求C1与C2的方程；（）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线C1于点B，直线AB交y轴于点E，且OAEEOB？若存在；若不存在，请说明理由解：（）y22px的焦点为（，0），P（3，t）到抛物线C1的焦点的距离为2，可得3+，解得p2，则抛物线的方程为y64x：由题意可得e，即有ab，由2pt74
17、，+1，解得a3，b，则椭圆的方程为+1；（）由题意可得直线OA的斜率存在且不为8，设OA的方程为ykx（k0），由于OAOB，可得直线OB的方程为yx，由，可得（1+2k5）x29，所以x，由，可得，解得x5k2（0舍去），第一象限内，椭圆C8上若存在点AOAEEOB，则k0，此时A（，）2，4k），设直线AB与x轴交于D，因为OAEEOB，所以OADAOD，DOBOBD，即D为AB的中点，所以yAyB，即4k20，故不存在适合题意的点A20（16分）已知函数f（x）e2x，g（x）m（2x+1）（m0）（e为自然对数的底数），h（x）f（x）（x）（）若me，求函数h（x）的单调区间；（）
18、若h（x）1m恒成立，求实数m的值；（）若直线yg（x）是曲线f（x）e2x的一条切线求证：对任意实数ab，都有解：（）me时，g（x）e（2x+1），由题意得：h（x）f（x）g（x）e7xe（2x+1），xR，h（x）2e2x2e7e（e2x16），令h（x）0，解得：x，x，h（x）的变化如下：x（，）（，+）h（x）0+h（x）递减极小值递增h（x）的递减区间是（，），递增区间是（；（）若h（x）2m恒成立，则m2xe2x3，x0时，显然成立，x0时，问题转化为m，+）恒成立，令k（t）（t0），令p（t）（t1）et+2，则p（t）tet0，p（t）在（0，故p（t）p（0）6，故k（t）0，+）递增，而et1，故m4，x0时，问题转化为m，0）恒成立，同理可得m2，综上：m1；（）证明：直线yg（x）是曲线f（x）的一条切线，设切点是（x0，y4），f（x）2e2x，解得：，故h（x）e5x2x1，要证，即证8e2b2，即证2e5b，ab，即证e2（ab）15（ab），令tab0，即证e2t32t，t0，令（t）e7t12t（t4），（t）2e2t60，故（t）在（0，+）单调递增，（t）（0）3，即e2t14t0，即证得
