1、 主题1中心天体质量和密度的计算天体的运动可以近似看成匀速圆周运动，中心天体质量和密度的计算涉及两种解题思路。(1)利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，天体的运动遵循牛顿第二定律求解。即Gma(2)利用天体表面物体的重力约等于万有引力来求解，即GmgM。【典例1】“嫦娥三号”探测器在环月运行时，其运行周期为T，距离月球表面的高度为h，已知月球的半径为R，万有引力常量为G。若将“嫦娥三号”探测器的运行轨道看作圆轨道，求：(1)月球质量M；(2)月球的平均密度。思路点拨：(1)由万有引力提供向心力，用上周期T，可得M。(2)球体体积：VR3，MVR3。解析(1)“嫦娥三号”探测器的运行轨道看
2、作圆轨道，万有引力提供向心力，所以m(Rh)，得M。(2)月球的平均密度。答案(1)(2) 主题2“黄金代换”式成立的三种情形对于“黄金代换”式GMgR2，绝对不可以理解为只要在地球表面上就能成立，其成立是有条件的。“黄金代换”式成立的一般情形有三种。1对于地球两极上的物体恒成立处在地球两极上的物体，由于没有随地球自转而做匀速圆周运动，地球对物体的万有引力等于物体的重力。故Gmg，即有GMgR2。2如果忽略地球的自转效应，对于地球表面上任意位置处的物体都成立同一个物体，由于随地球自转而需要的向心力与其自身的重力相比小得多(可以证明)，故可以近似认为Gmg。当然，如果要计算地球某纬度处的物体随地
3、球自转而需要的向心力时，则Gmg不成立。3对于以环绕速度(v7.9 km/s)运行的近地人造卫星成立这种人造卫星的环绕速度等于第一宇宙速度。对该人造卫星，由万有引力定律可得Gmg，由于该卫星离地面的高度hR，所以RhR，则在离地面高为h处的重力加速度gg。故对该卫星而言，可以把Gmg近似视为Gmg，即GMgR2。【典例2】若有一人造卫星距地面高度为h，地球质量为M、半径为R，地面的重力加速度为g，引力常量为G。(1)试分别用h、R、M、G表示该人造卫星运行的周期T、线速度v和角速度；(2)试分别用h、R、g表示该人造卫星运行的周期T、线速度v和角速度。解析此题已明确要求要分别用“h、R、M、G
4、”与“h、R、g”表示人造卫星的周期T、线速度v和角速度。如果用M、g、R进行表示，则必然要用到“GMgR2”。(1)卫星运动由万有引力提供向心力，根据向心力的不同表达形式，有Gm(Rh)mm2(Rh)解得T2，v，。(2)由于万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则对离地面高为h处的卫星，有Gm(Rh)mm2(Rh)又地面上的物体，有mg由以上各式可得T，v，。答案见解析 主题3双星模型1什么是双星模型宇宙中往往会有相距较近、质量相差不多的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫作
5、双星系统。2双星模型的特点【典例3】如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在万有引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线。A和B分别在O的两侧，引力常量为G。(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.981024 kg和7.351022kg。求T2与T1两者平方之比。(结果保留3位小数)解析(1)两星球围绕同一点O做匀速
6、圆周运动，其角速度一样，周期也一样，其所需向心力由两者间的万有引力提供，由牛顿第二定律得：对于M：GMr1对于m：Gmr2其中：r1r2L由以上三式，可得：T2。(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知两者运行周期为T12若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得：GmL解得：T2故：1.012。答案(1)均为2(2)1.012一语通关双星模型的三个特点(1)两星之间的万有引力提供各自所需的向心力，所以向心力大小是相等的。(2)两星绕连线上的某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同，角速度、周期相同。(3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，线速度与轨道半径成正比。
