1、第四章 导数专练1已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有2个极值点，证明：解：（1），若，在上单调递减，在，上单调递增；若，令，当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，同理可得，在，上单调递减，在，上单调递增；当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减综上所述，当时，的递减区间为，无增区间；当时，的递减区间为，递增区间为，；当时，的递减区间为，递增区间为，；当时，的递减区间为，递增区间为，；（2）证明：函数有两个极值点，由（1）可知，且，是方程两个根，；令，则恒成立，在，上单调递增，即2已知函数有最小值，且（）求的最大值；（）当取得最大值时，设（b），有两个零点，若，不等式恒成立，求的取值范围解：
2、（）有题意，当时，在上单增，此时显然不成立；当时，令，得，此时在上单减，在上单增，（b），即，的最大值为1；（）当取得最大值时，的两个零点为，则，即，不等式恒成立等价于两式相减得，代入上式得，令，其中，；当时，函数在上单调递增，（1），满足题意；当时，函数在，上单调递减，此时（1），不满足题意综上所述：的取值范围是3已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设图数为自然对数的底数）在区间内的零点为，记，（其中，表示，中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：解：（1）的定义域是，当时，恒成立，在递增，当时，令，解得：，当时，单调递增，当，时，单调递减，综上：当时，在递增，当时，在单调递增
3、，在，单调递减；（2）证明：，定义域是，而，故，在单调递增，又（1），（2），且在内的图像连续不断，故根据零点存在性定理，有在上有且只有1个零点，故存在，使得，即，且当时，当时，故，当时，由得单调递增，当时，由得单调递减，若在区间内有2个不相等的实数根，要证，即证，又，而在区间，内单调递减，故可证，又由，即证，即，记，其中，记，则，当时，当时，故的最大值是，而，故，而，故，故，即单调递增，故当时，即，故4已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，点，为曲线上两个不同的点，且若存在，使曲线在点，处的切线与直线平行，证明：解：（1）由题意得，时，由，得，解得：，由，得，解得：，故函数在递减，在递增
4、，当时，由得，解得：，由，得，解得：，故函数在递减，在递增，综上：当时，函数在递减，在递增，当时，函数在递减，在递增；（2）证明：由题意知，直线的斜率，又，故，整理，可得，即，令，则，欲证成立，等价于证明成立，即证：，令，则，故在单调递增，故（1），即成立，故5已知函数有两个零点，且（）求的取值范围；（）当时，不等式恒成立，求的取值范围解：（）解法一：，当时，单调递减，不可能有两个零点，不符合题意，当时，有一个零点，不符合题意，当时，令，则，解得，当时，为减函数，当时，为增函数，所以当时，有极小值也是最小值，且，因为有两个零点，所以，即，即，解得，此时，（1），所以，因为，易知当时恒有，所以，
5、所以，且符合，所以的取值范围为解法二：令，因为，所以（2分）令，则，令，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，故当时，有极大值也是最大值，且，当时，当时，当时，所以当时，有两个零点，所以的取值范围为（）因为，所以，所以，又因为当时，不等式恒成立，所以，令，因为，所以，则，所以对恒成立，令，则，令，则，当时，所以在，上单调递减，（4），所以，在，上单调递减，（4），所以6已知函数，（1）若，求的最大值；（2）若函数，讨论的单调性；（3）若函数有两个极值点，求证：解：（1）当时，当时，单调递增，当时，单调递减，故极大值也是最大值是（1）（2）由已知得，的定义域是，当时，当时，单调递增，当时，单调递
6、减，当时，由，解得：或，故当时，单调递增，当时，单调递减，当时，由，解得：或，故，时，单调递增，当时，单调递减，故时，当时，单调递增，当时，由，解得：或，故，时，单调递增，当，时，单调递减，综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在与，上单调递增，在单调递减，当时，在上单调递增，当时，在，单调递增，在，单调递减（3）证明：，则的定义域是，则，若有2个极值点，则方程的判别式，且，又，即，设，其中，由，解得：，由于，即，在上单调递增，在，上单调递减，即的最大值是，从而7已知函数，函数满足（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个不同的零点，证明：解：（1）由已知得函数的定义域为，则，当，即时，在上单调递增，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，综上：时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增（2）证明：，其定义域为，等价于，即，设，令，则；令，则，当时单调递增；当时单调递减，函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，时，时，（1），有两个不同的零点，且，令，则，在时单调递增，（1），即时，又，且时单调递增，故而，得证
