1、第六章 万有引力与航天第 4 节 万有引力理论的成就第六章 万有引力与航天 1了解万有引力定律在天文学上的重要应用2了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量(重点)3理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法(重点、难点)一、“科学真是迷人”1依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即 mg_2结论：M_，只要知道 g、R 的值，就可计算出地球的质量GMmR2gR2G二、计算天体的质量1太阳质量的计算(1)依据：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即 GMmr2 _(2)结论
2、：M_，只要知道行星绕太阳运动的周期 T和半径 r 就可以计算出太阳的质量42mrT242r3GT22行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间的距离 r，可计算行星的质量 M，公式是 M_三、发现未知天体1“笔尖下发现的行星”是指_2海王星的发现和_的“按时回归”确立了万有引力定律的地位42r3GT2海王星哈雷彗星判一判(1)天王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的()(2)海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的()(3)哈 雷 彗 星 的“按 时 回 归”证 明 了 万 有 引 力 定 律 的 正 确性()(4)牛顿被称作第一个称出地球质量
3、的人()(5)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量()(6)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以求出太阳的质量()做一做 科学家们推测，太阳系有颗行星和地球在同一轨道上从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”由以上信息我们可以推知()A这颗行星的质量等于地球的质量B这颗行星的密度等于地球的密度C这颗行星的公转周期与地球公转周期相等D这颗行星的自转周期与地球自转周期相等提示：选 C由题意知，该行星和地球一样绕太阳运行，且该行星、太阳、地球在同一直线上，说明该行星与地球有相同的公转周期，选项 C 正确；但根据所
4、给条件，无法进一步判断这颗行星与地球的自转周期、质量、密度是否相同想一想 知道行星绕太阳运动的周期 T 和轨道半径 r 能计算出行星的质量吗？提示：不能，由 GMmr2 m42T2 r 可得 GMr242T2 r，可见公式无法推导 m，行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r 与行星质量无关 天体质量和密度的计算1计算天体的质量以地球质量的计算为例，介绍两种计算天体质量的方法：(1)若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力即mgGM地mR2，解得地球质量为 M 地gR2G(2)万有引力提供卫星绕地球做圆周运动的向心力GMmr2 m2T2rM42r3G
5、T2，已知r和T可以求M；mv2r Mrv2G，已知r和v可以求M；m2rMr32G，已知r和可以求M2计算天体的密度若天体的半径为 R，则天体的密度 M43R3将 MgR2G 代入上式得：3g4GR将 M42r3GT2 代入上式得：3r3GT2R3当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r 等于天体半径 R，则 3GT2(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体明确计算出的是中心天体的质量(2)要注意区分 R、rR 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径若绕近地轨道运行，则有 Rr命题视角 1“环绕法”求中心天体的质量和密度 设“嫦娥三号”卫星距月球表面的高度为 h，
6、做匀速圆周运动的周期为 T已知月球半径为 R，引力常量为 G求：(1)月球的质量 M；(2)月球表面的重力加速度 g；(3)月球的密度 解析(1)万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，则有 GMm（Rh）2m42T2(Rh)，得M42（Rh）3GT2.(2)在月球表面，万有引力等于重力，则有 GMm1R2 m1g，得 g42（Rh）3R2T2.(3)由 MV，V43R3，得 3（Rh）3GT2R3.答案(1)42（Rh）3GT2(2)42（Rh）3R2T2(3)3（Rh）3GT2R3命题视角 2“代换法”求天体的质量和密度 为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量 M已知地球半径 R6
7、4106 m，地球质量 m61024 kg，日地中心的距离 r151011 m，地球表面处的重力加速度 g 取 10 m/s2，1 年约为 32107 s，试估算目前太阳的质量 M(结果保留一位有效数字，引力常量未知)思路点拨 根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳做圆周运动(近似处理)的向心力列出相关方程，再根据地球表面物体的重力等于引力推出 GmgR2，联立求解本题中引力常量未知，需利用地球表面上的物体找关系解析 设 T 为地球绕太阳运动的周期，根据万有引力提供向心力，即 GMmr2 m2T2r对地球表面的物体 m，有 mgGmmR2联立两式，解得 M42mr3gR2T2，代入已知数据得 M2
8、1030 kg.答案 21030 kg求天体的密度，关键在于求天体的质量，而求天体质量时主要利用万有引力定律处理天体运动的两条思路，同时要注意对题目隐含条件的挖掘，如绕星体表面运行时有 rR 星以及地球的公转周期、自转周期等【通关练习】1已知万有引力常量 G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是()A在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度 H和时间 tB发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期 TC观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径 D 和月球绕地球运行的周期 TD发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度 H 和卫
9、星的周期 T解析：选 B.根据选项 A 的条件，可求出月球上的重力加速度 g，由 gGMR2 可以求出月球质量和月球半径的二次方比，MR2gG，无法求出密度，选项 A 不正确；根据选项 B 的条件，由GMmR2 m2T2R，可求出月球质量和月球半径的三次方比，MR342GT2，而月球密度为 M43R3 3M4R3 3GT2，选项 B 正确；根据选项 C 的条件，无法求月球的质量，因而求不出月球的密度，选项 C 不正确；根据选项 D 的条件，由GMm（RH）2m2T2(RH)，可求出M（RH）342GT2，虽然知道 H 的大小，但仍然无法求出月球质量和密度22018 年 2 月，我国 500 m
10、 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”，其自转周期 T519 ms，假设星体为质量 均 匀 分 布 的 球 体，已 知 万 有 引 力 常 量 为6.671011 Nm2/kg2以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为()A5109 kg/m3B51012 kg/m3C51015 kg/m3D51018 kg/m3解析：选 C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据 GMmR2 m42RT2，M43R3，得 3GT2，代入数据解得 51015 kg/m3，C 正确 解决天体运动问题的基本思路1解决天体运动问题的两条思路(1)万有引力提供向心
11、力GMmr2 ma 向mv2r m2rmvm42T2 r(2)黄金代换在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即GMmR2 mg，从而得出 GMR2g2常用的几个关系式设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动GMmr2 mv2r mr2m42T2 rman，可推导出：vGMrGMr3T2r3GManGMr2当 r 增大时v减小减小T增大an减小即：对于 r、v、T、an 五个量“一定四定”，“一变四变”应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是 365 天，自转一周是 24 小时，其表面的重力加速度约为 98 m/
12、s2 等3双星模型如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”4双星模型的特点(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供(3)两星的运动周期、角速度都相同(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即 r1r2L命题视角 1 运行天体的物理量的规律 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带假设该小行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动下列说法正确
13、的是()A太阳对各小行星的引力相同B各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值思路点拨 解答本题的关键是能够根据太阳对行星的万有引力提供行星运动的向心力，列出相关动力学方程解析 由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项 A 错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由 GMmr2 m2T2r可得 T42r3GM，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项 B 错误；由 GMmr2ma
14、 可得 aGMr2，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项 C 正确；由 GMmr2 mv2r 可得 vGMr，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项 D 错误答案 C命题视角 2 宇宙中的双星系统 宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起设两者的质量分别为 m1 和 m2，两者相距为L求：(1)双星的轨道半径之比；(2)双星的线速度之比；(3)双星的角速度解析 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两
15、星间距离 L 不变，且两者做匀速圆周运动的角速度 必须相同如图所示，两者轨迹圆的圆心为 O，圆半径分别为 R1 和 R2.由万有引力提供向心力，有：Gm1m2L2 m12R1Gm1m2L2 m22R2(1)由两式相除，得：R1R2m2m1.(2)因为 vR，所以v1v2R1R2m2m1.(3)由几何关系知 R1R2L联立式解得 G（m1m2）L3.答案(1)m2m1(2)m2m1(3)G（m1m2）L3命题视角 3 万有引力定律在宇宙探测中的应用 如图为宇宙中一个恒星系的示意图，A 为该星系的一颗行星，它绕中央恒星 O 运行轨道近似为圆，天文学家观测到 A 行星运动的轨道半径为 R0，周期为
16、T0长期观测发现，A 行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔 t0 时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是 A 行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行轨道与 A 在同一平面内，且与 A 的绕行方向相同)，它对 A 行星的万有引力引起 A 轨道的偏离根据上述现象及假设，你能对未知行星 B 的运动得到哪些定量的预测解析 设中央恒星质量为 M，A 行星质量为 m，则有 GMmR20 m2T02R0.由题意可知：A、B 相距最近时，B 对 A 的影响最大，且每隔 t0时间相距最近，设 B 行星周期为 TB，则有 At0Bt02，即 t0T0 t0TB1，所
17、以 TB t0T0t0T0设 B 行星的质量为 m1，运动的轨道半径为 RB，则有GMm1R2B m12TB2RB由可得：RBR03t0t0T02由圆周运动的运动学知识：行星 B 的角速度 B2TB2（t0T0）T0t0，行星 B 的线速度 vBBRB2R0（t0T0）T0t03t0t0T02.答案 预测行星 B 的轨道半径、运行周期以及运行线速度和角速度【通关练习】1假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么()A地球公转的周期大于火星公转的周期B地球公转的线速度小于火星公转的线速度C地球公转的加速度小于火星公转的加速度D地球公转的角速度大于火星公转
18、的角速度解析：选 D.根据 GMmr2 m2T2rmv2r manm2r 得，公转周期 T2r3GM，故地球公转的周期较小，选项 A 错误；公转线速度 vGMr，故地球公转的线速度较大，选项 B 错误；公转加速度 anGMr2，故地球公转的加速度较大，选项 C 错误；公转角速度 GMr3，故地球公转的角速度较大，选项 D 正确2为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍P 与 Q 的周期之比约为()A21B41C81D161解析：选 C.由开普勒第三定律得r3T2k，故TPTQRPRQ3164381，C 正确本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
