1、思想方法训练4转化与化归思想一、能力突破训练1.已知M=(x,y)|y=x+a,N=(x,y)|x2+y2=2,且MN=,则实数a的取值范围是()A.a2B.a2或a-2D.-2a22.已知e1,e2是两个单位向量,且夹角为3,则e1+te2与te1+e2的数量积的最小值为()A.-32B.-36C.12D.333.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0,4,则点P横坐标的取值范围为()A.-1,-12B.-1,0C.0,1D.12,14.设a=22(sin 17+cos 17),b=2cos213-1,c=32,则a,b,c的大小关系是()A.ca
2、bB.acbC.bacD.cba5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR),则不等式f(x)0).(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)设x0,2,f(x)的最小值是1-3,最大值是3,求实数m,n的值.10.已知函数f(x)=23x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程;(2)已知对一切x(0,+),af(x)+4a2xln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则|P
3、F|PA|的最小值是()A.12B.22C.32D.23312.设F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(OP+OF2)F2P=0,O为坐标原点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线的离心率为()A.3+1B.3+12C.6+2D.6+2213.若函数f(x)=x2-ax+2在区间0,1上至少有一个零点,则实数a的取值范围是.14.已知各项均为正数的数列an和bn满足an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=1,a2=3,则数列an的通项公式为.15.已知函数f(x)=eln x,g(x)=1ef
4、(x)-(x+1)(e=2.718).(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:1+12+13+1nln(n+1)(nN*).思想方法训练4转化与化归思想一、能力突破训练1.C解析:MN=等价于方程组y=x+a,x2+y2=2无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0,由题易知一元二次方程无实根,即=(2a)2-42(a2-2)2或a-2.2.A解析:(e1+te2)(te1+e2)=te12+(t2+1)e1e2+te22=t|e1|2+(t2+1)|e1|e2|cos3+t|e2|2=12t2+2t+12=12(t+2)2-32
5、,当t=-2时,取得最小值,最小值为-32.3.A解析:设P(x0,y0),曲线C在点P处的切线的倾斜角为,则0tan1,令y=f(x)=x2+2x+3,则f(x)=2x+2,于是02x0+21,-1x0-12,故选A.4.A解析:a=sin(17+45)=sin62,b=cos26=sin64,c=sin60,cab.5.A解析:设F(x)=f(x)-2x-1,则F(x)=f(x)-21时,F(x)0,即不等式f(x)2x+1的解集为(1,+),故选A.6.C解析:因为lg(log210)+lg(lg2)=lg(log210lg2)=lglg10lg2lg2=lg1=0,所以lg(lg2)=
6、-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(lg2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsint+4=5,所以at3+bsint=1,所以f(-t)=-at3-bsint+4=-1+4=3.7.(-13,13)解析:若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d1.d=|c|122+52=|c|13,0|c|0,由2k+22x+32k+32,kZ,即k+12xk+712,kZ,可知函数f(x)的单调递减区间为k+12,k+712,kZ.(2)当x0,2时,2x+33,43,则-32sin2x+31.f(x)的最小值是1-3,最大值是3
7、,f(x)的最大值为m+n=3,最小值为-32m+n=1-3,得m=2,n=1.10.解(1)由题意知当a=0时,f(x)=23x3-3x,所以f(x)=2x2-3.又f(3)=9,f(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1lnx,即alnx-12x2在x(0,+)内恒成立.设g(x)=lnx-12x2,则g(x)=3-2lnx2x3,当0x0;当xe32时,g(x)0,所以当x=e32时,g(x)取得最大值,且g(x)max=14e3,故实数a的取值范围为14e3,+.二、思维提升训练1
8、1.B解析:显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.|PF|PA|=|PB|PA|=sinPAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0BACPAB2,sinBACsinPAB.设切点为(x0,y0),则y02=4x0,又y0x0+1=y|x=x0=1x0,解得x0=1,y0=2,C(1,2),|AC|=22.sinBAC=222=22,|PF|PA|的最小值为22.故选B.12.A解析:如图,取F2P的中点M,则OP+OF2=2OM.又由已知得2OMF2P=0,OMF2P.又OM为F2F1P的中位线,F1PPF2.在PF1F2中,2a=|PF1|-
9、|PF2|=(3-1)|PF2|,由勾股定理,得2c=2|PF2|.e=23-1=3+1.13.3,+)解析:由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在0,1上有实数解.又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0x1可将方程x2-ax+2=0变形为a=x2+2x=x+2x.从而问题转化为求函数g(x)=x+2x(00).令g(x)0,解得0x1;令g(x)1.函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减,g(x)极大值=g(1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,g(x)g(1)=-2,即lnx-(x+1)-2lnxx-1(当且仅当x=1时等号成立).令t=x-1,得tln(t+1),取t=1n(nN*),则1nln1+1n=lnn+1n(nN*),1ln2,12ln32,13ln43,1nlnn+1n,叠加得1+12+13+1nln23243n+1n=ln(n+1)(nN*).
